Feladat: B.4323 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bogár Blanka 
Füzet: 2012/március, 143. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/január: B.4323

Oldjuk meg a következő egyenletet:
1+x4(1+x)4=34.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. A nevezőben nem állhat nulla, így x-1. A nevezőkkel történő szorzás és a kéttagú polinom negyedik hatványának kifejtése után
4+4x4=3(1+4x+6x2+4x3+x4),
további beszorzást és nullára rendezést követően pedig
x4-12x3-18x2-12x+1=0
adódik. Ez a szimmetrikus negyedfokú egyenlet gyakran előforduló ú.n. ,,reciprok egyenlet'', amely minden esetben másodfokú egyenletre vezethető vissza. Az egyenletnek láthatóan nem gyöke az x=0, így oszthatunk x2-tel:
x2-12x-18-121x+1x2=0.
Most vezessünk be új ismeretlent az x+1x kifejezés helyett. Az x+1x=a helyettesítéssel, illetve négyzetre emeléssel és rendezéssel
(x+1x)2=a2x2+1x2=a2-2.
Alakítsuk át az egyenletet az új ismeretlen segítségével:
x2+1x2-12(x+1x)-18=0,a2-12a-20=0.
Az egyenlet gyökei a1,2=6±214. Az a=6-214 abszolút értéke kisebb, mint 2, így nem lehet egy valós szám és reciprokának összege. Valós megoldásokat csak az a=6+214 esetben kaphatunk.
x+1x=6+214x2-(6+214)x+1=0.x1,2=3+14±22+614.
A megoldások valóban ki is elégítik az egyenletet.
 

Megjegyzés. A feladat szövegében nem szerepelt az alaphalmaz, ennek megfelelően azok is teljes pontszámot kaptak, akik a komplex gyököket is meghatározták. Ezek az a=6-214 értékből
x3,4=3-14±i614-22.