Feladat:	B.4323	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bogár Blanka
Füzet:	2012/március, 143. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/január: B.4323

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A nevezőben nem állhat nulla, így $x\ne -1$. A nevezőkkel történő szorzás és a kéttagú polinom negyedik hatványának kifejtése után $\begin{array}{c}{\displaystyle 4+4x^4=3\left(1+4x+6x^2+4x^3+x^4\right)\mathrm{,}}\end{array}$ további beszorzást és nullára rendezést követően pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle x^4-12x^3-18x^2-12x+1=0}\end{array}$ adódik. Ez a szimmetrikus negyedfokú egyenlet gyakran előforduló ú.n. ,,reciprok egyenlet'', amely minden esetben másodfokú egyenletre vezethető vissza. Az egyenletnek láthatóan nem gyöke az $x=0$, így oszthatunk $x^2$-tel: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-12x-18-12\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0.}\end{array}$ Most vezessünk be új ismeretlent az $x+\frac{1}{x}$ kifejezés helyett. Az $x+\frac{1}{x}=a$ helyettesítéssel, illetve négyzetre emeléssel és rendezéssel $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=a^2\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2.}\end{array}$ Alakítsuk át az egyenletet az új ismeretlen segítségével: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}-12\left(x+\frac{1}{x}\right)-18}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^2-12a-20}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Az egyenlet gyökei $a_{\mathrm{1,2}}=6\pm 2\sqrt[]{14}$. Az $a=6-2\sqrt[]{14}$ abszolút értéke kisebb, mint 2, így nem lehet egy valós szám és reciprokának összege. Valós megoldásokat csak az $a=6+2\sqrt[]{14}$ esetben kaphatunk. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x+\frac{1}{x}}& {\displaystyle =6+2\sqrt[]{14}\Rightarrow x^2-\left(6+2\sqrt[]{14}\right)x+1=0.}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}}& {\displaystyle =3+\sqrt[]{14}\pm \sqrt[]{22+6\sqrt[]{14}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A megoldások valóban ki is elégítik az egyenletet.   Megjegyzés. A feladat szövegében nem szerepelt az alaphalmaz, ennek megfelelően azok is teljes pontszámot kaptak, akik a komplex gyököket is meghatározták. Ezek az $a=6-2\sqrt[]{14}$ értékből $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{\mathrm{3,4}}=3-\sqrt[]{14}\pm i\sqrt[]{6\sqrt[]{14}-22}\mathrm{.}}\end{array}$