Feladat: B.4344 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Varga Balázs 
Füzet: 2011/december, 536 - 537. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trapézok, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Háromszögek hasonlósága, Feladat, Terület, felszín
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/március: B.4344

Az ABCD szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalainak hossza a és c. Szárainak felezőpontjai legyenek E és F. Az E pontnak a BC szár egyenesére eső merőleges vetülete legyen G. Mekkora a trapéz területe, ha a C pont a GF szakasz G-hez közelebbi harmadoló pontja?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat szövegéből következik, hogy az E és F pontok rendre az AD, illetve a BC szár felezőpontjai, továbbá az AB alap hosszabb, mint a CD alap. Ezért választhatjuk úgy a jelölést, hogy a>c teljesüljön.

 
 

A szárak hossza legyen 4x, ekkor FG=3x és CG=x. Legyen a C csúcsnak az AB alapra eső merőleges vetülete H, és vezessük be a CH=m és ABC=β jelöléseket.
A trapéz középvonalának hossza EF=a+c2, a szimmetria miatt pedig BH=a-c2. Az EFG és CBH derékszögű háromszögek hasonlóak, mert EFG=β. Ezért a két háromszög megfelelő oldalainak aránya is megegyezik, tehát EFFG=CBBH, azaz FGCB=EFBH, amiből kapjuk, hogy
3x4x=a+c2a-c2,vagyisx2=a2-c248.

A CHB derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele szerint
m2=(4x)2-(a-c2)2,
vagyis
m=a2-c23-(a-c)24=a2+6ac-7c212.
Tehát a trapéz területe
T=a+c2m=a+c2a2+6ac-7c212.