Kezdőlap


Feladat:	B.4344	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varga Balázs
Füzet:	2011/december, 536 - 537. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trapézok, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Háromszögek hasonlósága, Feladat, Terület, felszín
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/március: B.4344

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat szövegéből következik, hogy az $E$ és $F$ pontok rendre az $A D$ , illetve a $B C$ szár felezőpontjai, továbbá az $A B$ alap hosszabb, mint a $C D$ alap. Ezért választhatjuk úgy a jelölést, hogy $a > c$ teljesüljön.

A szárak hossza legyen

4 x

, ekkor

F G = 3 x

és

C G = x

. Legyen a

C

csúcsnak az

A B

alapra eső merőleges vetülete

H

, és vezessük be a

C H = m

és

A B C ∢ = β

jelöléseket.
A trapéz középvonalának hossza

E F = \frac{a + c}{2}

, a szimmetria miatt pedig

B H = \frac{a - c}{2}

. Az

E F G

és

C B H

derékszögű háromszögek hasonlóak, mert

E F G ∢ = β

. Ezért a két háromszög megfelelő oldalainak aránya is megegyezik, tehát

\frac{E F}{F G} = \frac{C B}{B H}

, azaz

F G \cdot C B = E F \cdot B H

, amiből kapjuk, hogy

\begin{matrix} 3 x \cdot 4 x = \frac{a + c}{2} \cdot \frac{a - c}{2}, vagyis x^{2} = \frac{a^{2} - c^{2}}{48} . \end{matrix}

C H B

derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} m^{2} = {(4 x)}^{2} - {(\frac{a - c}{2})}^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} m = \sqrt[]{\frac{a^{2} - c^{2}}{3} - \frac{{(a - c)}^{2}}{4}} = \sqrt[]{\frac{a^{2} + 6 a c - 7 c^{2}}{12}} . \end{matrix}

Tehát a trapéz területe

\begin{matrix} T = \frac{a + c}{2} \cdot m = \frac{a + c}{2} \cdot \sqrt[]{\frac{a^{2} + 6 a c - 7 c^{2}}{12}} . \end{matrix}