Feladat: B.4311 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Árvay Balázs ,  Bauer Barbara ,  Bogár Blanka ,  Bősze Zsuzsanna ,  Böőr Katalin ,  Csahóczi Márton ,  Dolgos Tamás ,  Énekes Péter ,  Halász Dániel ,  Köpenczei Gergő ,  Lenger Dániel ,  Nagy Balázs ,  Neukirchner Elisabeth ,  Perjési Gábor ,  Tekeli Tamás ,  Zelena Réka 
Füzet: 2011/október, 410 - 411. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Algebrai átalakítások, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszög területe
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/november: B.4311

Adott az ABC hegyesszögű háromszög belsejében egy P pont. Az AP, BP és CP egyenesek a szemközti oldalakat rendre A1, B1 és C1 pontokban metszik. Tudjuk, hogy PA1=PB1=PC1=3 és AP+BP+CP=43. Igazoljuk, hogy APBPCP=441.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög magasságait a szokásos módon ma, mb, mc-vel, legyen továbbá a P pontnak az oldalegyenesektől való távolsága rendre x, y és z. Mivel P a háromszög belső pontja,

TABC=TBCP+TCAP+TABP.
 
 
1. ábra

Ebből, felhasználva, hogy közös alapú háromszögek területének aránya megegyezik magasságaik arányával, az
1=TBCPTABC+TCAPTABC+TABPTABC=xma+ymb+zmc.(1)
összefüggés adódik.
A párhuzamos szelők tétele szerint viszont:
xma=PA1AA1=PA1AP+PA1=3AP+3,
és ugyanígy
ymb=3BP+3,zmc=3CP+3.
Ezeket beírva az (1) egyenletbe majd rendezve kapjuk, hogy
1=3AP+3+3BP+3+3CP+3,
 
(AP+3)(BP+3)(CP+3)=
 
=3((BP+3)(CP+3)+(AP+3)(CP+3)+(AP+3)(BP+3)).


Ebből pedig
APBPCP=
 
=3((APBP+BPCP+CPAP)+6(AP+BP+CP)+27)-
 
=-(3(APBP+BPCP+CPAP)+9(AP+BP+CP)+27)=
 
=9(AP+BP+CP)+54=943+54=441,

ami épp a bizonyítandó állítás.
 
Megjegyzés. A feladat megoldásából nem következik, hogy létezik olyan háromszög és a belsejében olyan P pont, melyre teljesülnek a feltételek. Ha megpróbálunk ilyet rajzolni, észrevehető, hogy a P pont mindhárom oldalhoz aránylag ,,közel'' kell, hogy legyen. A legegyszerűbb példa az az egyenlőszárú háromszög, amelynek alapja BC=13, alaphoz tartozó magassága 39, a P pont pedig ezen a magasságon van. Ekkor AP=36 és BP=CP=3,5. A 2. ábrán ennek a háromszögnek az alaphoz közeli része látható.
 
 
 
2. ábra
Az ábrán jelölt szögek
γ=arctg61387,35ésδ=arctg61359,00.