Feladat: B.4315 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bogár Blanka ,  Bor Julianna ,  Damásdi Gábor ,  Énekes Péter ,  Fonyó Viktória ,  Gyarmati Máté ,  Hajnal Máté ,  Herczeg József ,  Homonnay Bálint ,  Kabos Eszter ,  Kiss Robin ,  Maga Balázs ,  Medek Ákos ,  Mihálykó András ,  Perjési Gábor ,  Simig Dániel ,  Strenner Péter ,  Szabó Attila ,  Tossenberger Tamás ,  Viharos Andor ,  Zilahi Tamás ,  Zsakó András 
Füzet: 2012/szeptember, 349 - 350. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Racionális számok és tulajdonságaik, Oszthatóság, Indirekt bizonyítási mód
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/december: B.4315

Az r pozitív racionális számról tudjuk, hogy rr is racionális. Igazoljuk, hogy r egész szám.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Legyen r=pq racionális szám, ahol p és q egymáshoz relatív prímek.
Ekkor a feladat szerint
rr=(pq)pq=ab
is racionális szám, ahol a és b szintén relatív prímek. Rendezéssel:
(pq)p=(ab)q,ppbq=aqqp.
Ám ez a és b, valamint p és q relatív-prím tulajdonsága miatt csak pp=aq és bq=qp mellett teljesülhet. Az utóbbi szerint qp-ben minden kitevő osztható q-val, de akkor ugyanez q-ra is fennáll: q=cq, alkalmas c pozitív egésszel. Ha itt c>1, akkor q=cq2q>q, ami ellentmondás; tehát c=1, ezért q=1, azaz r=pq valóban egész szám.