Feladat:	B.4315	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bogár Blanka ,  Bor Julianna ,  Damásdi Gábor ,  Énekes Péter ,  Fonyó Viktória ,  Gyarmati Máté ,  Hajnal Máté ,  Herczeg József ,  Homonnay Bálint ,  Kabos Eszter ,  Kiss Robin ,  Maga Balázs ,  Medek Ákos ,  Mihálykó András ,  Perjési Gábor ,  Simig Dániel ,  Strenner Péter ,  Szabó Attila ,  Tossenberger Tamás ,  Viharos Andor ,  Zilahi Tamás ,  Zsakó András
Füzet:	2012/szeptember, 349 - 350. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Racionális számok és tulajdonságaik, Oszthatóság, Indirekt bizonyítási mód
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: B.4315

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen $r=\frac{p}{q}$ racionális szám, ahol $p$ és $q$ egymáshoz relatív prímek. Ekkor a feladat szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle r^r={\left(\frac{p}{q}\right)}^{\frac{p}{q}}=\frac{a}{b}}\end{array}$ is racionális szám, ahol $a$ és $b$ szintén relatív prímek. Rendezéssel: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{p}{q}\right)}^p={\left(\frac{a}{b}\right)}^q\mathrm{,}{p}^p{b}^q=a^q{q}^p\mathrm{.}}\end{array}$ Ám ez $a$ és $b$, valamint $p$ és $q$ relatív-prím tulajdonsága miatt csak $p^p=a^q$ és $b^q=q^p$ mellett teljesülhet. Az utóbbi szerint $q^p$-ben minden kitevő osztható $q$-val, de akkor ugyanez $q$-ra is fennáll: $q=c^q$, alkalmas $c$ pozitív egésszel. Ha itt $c>1$, akkor $q=c^q\ge 2^q>q$, ami ellentmondás; tehát $c=1$, ezért $q=1$, azaz $r=\frac{p}{q}$ valóban egész szám.