Feladat:	B.4287	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bálint Csaba ,  Boér Lehel ,  Csuka Róbert ,  Dobosy Kristóf ,  Fonyó Viktória ,  Janzer Olivér ,  Kiss Boldizsár ,  Köpenczei Gergő ,  Lajos Mátyás ,  Schulz Vera Magdolna ,  Strenner Péter ,  Szabó Attila ,  Szabó Bence ,  Varnyú József
Füzet:	2012/szeptember, 348. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Háromszög nevezetes körei, Szögfelező egyenes, Háromszögek hasonlósága, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/szeptember: B.4287

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelölje az $ABC$ háromszög beírt körének középpontját $O$; ekkor $O_1{O}_2{O}_3$ hegyesszögű háromszög, amelynek magasságvonalai $O_{1}A$, $O_{2}B$ és $O_{3}C$, magasságpontja pedig $O$. Például: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle O_{1}CO\sphericalangle }& {\displaystyle =O_{1}CB\sphericalangle +BCO\sphericalangle =}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{180}^{\circ }-\gamma }{2}+\frac{\gamma }{2}={90}^{\circ }\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$     Származtatásuk miatt az $M_1$, $M_2$, $M_3$ pontok a $PO$ szakasz Thalész-körén vannak. Ezért a kerületi szögek tétele szerint például ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle M_1{M}_2{M}_3\sphericalangle }& {\displaystyle =M_{1}O{M}_3\sphericalangle ={180}^{\circ }-M_{1}P{M}_3\sphericalangle ={180}^{\circ }-AOC\sphericalangle =}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =A{O}_{2}C\sphericalangle =O_3{O}_2{O}_1\sphericalangle \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát az $O_1{O}_2{O}_3$ és $M_1{M}_2{M}_3$ háromszögek szögei páronként egyenlők, ezért a két háromszög hasonló.