Feladat: B.4287 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bálint Csaba ,  Boér Lehel ,  Csuka Róbert ,  Dobosy Kristóf ,  Fonyó Viktória ,  Janzer Olivér ,  Kiss Boldizsár ,  Köpenczei Gergő ,  Lajos Mátyás ,  Schulz Vera Magdolna ,  Strenner Péter ,  Szabó Attila ,  Szabó Bence ,  Varnyú József 
Füzet: 2012/szeptember, 348. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Háromszög nevezetes körei, Szögfelező egyenes, Háromszögek hasonlósága, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/szeptember: B.4287

Az ABC háromszög hozzáírt köreinek középpontja O1, O2 és O3. A háromszög egy, a beírt kör középpontjától különböző P belső pontjából a szögfelezőkre állított merőlegesek talppontjai M1, M2 és M3. Bizonyítsuk be, hogy az O1O2O3 és M1M2M3 háromszögek hasonlóak.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Jelölje az ABC háromszög beírt körének középpontját O; ekkor O1O2O3 hegyesszögű háromszög, amelynek magasságvonalai O1A, O2B és O3C, magasságpontja pedig O. Például:
O1CO=O1CB+BCO==180-γ2+γ2=90.

 
 
Származtatásuk miatt az M1, M2, M3 pontok a PO szakasz Thalész-körén vannak. Ezért a kerületi szögek tétele szerint például
M1M2M3=M1OM3=180-M1PM3=180-AOC==AO2C=O3O2O1.
Tehát az O1O2O3 és M1M2M3 háromszögek szögei páronként egyenlők, ezért a két háromszög hasonló.