|
Feladat: |
B.4280 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Tamás , Éles András , Márkus Bence , Mester Márton , Mészáros András , Perjési Gábor |
Füzet: |
2011/szeptember,
351 - 352. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Háromszög nevezetes körei, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Középponti és kerületi szögek |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2010/május: B.4280 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A háromszög szögeit a szokásos módon , , -val jelölve, a kerületi szögek tétele szerint , így az és egyenlő szárú háromszögekben | | Ugyancsak a kerületi szögek tétele szerint , vagyis | | Ezek alapján az és négyszög is húrnégyszög. Minthogy az -ból és -ből induló külső szögfelezők metszéspontja, | |
Mivel , , egy háromszög szögei, | |
Emiatt az , és háromszögek hasonlók, és | | Felhasználva, hogy az és húrnégyszögek, , továbbá | | Ez azt jelenti, hogy az és háromszögek is hasonlók, vagyis Az szög tehát megegyezik a körben a húrhoz tartozó kerületi szöggel, tehát az egyenes érinti a kört. Ezzel beláttuk, hogy a kör érinti az egyenest, és ugyanígy a egyenest is. Húzzunk most képzeletben érintőt az és a körhöz is az pontban. Előbbi a húrral , utóbbi az húrral szöget zár be. Annak belátásához, hogy a két kör -ben érinti egymást, elegendő megmutatni, hogy a két érintőegyenes egybeesik, vagyis, hogy . Ismét kihasználhatjuk, hogy és húrnégyszög, továbbá azt is, hogy az és háromszögek hasonlók. Ezek alapján | | ahogy azt bizonyítani kívántuk. |
|