Feladat: B.4280 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágoston Tamás ,  Éles András ,  Márkus Bence ,  Mester Márton ,  Mészáros András ,  Perjési Gábor 
Füzet: 2011/szeptember, 351 - 352. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Háromszög nevezetes körei, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/május: B.4280

Az ABC háromszög k köréírt körén a C-t tartalmazó AB ív felezőpontja M. Az AB oldalhoz hozzáírt kör középpontja J. A J pontban a CJ szögfelezőre állított merőleges az AC egyenest D-ben, a BC egyenest E-ben metszi. Az MJ egyenes a k kört másodszor F-ben metszi. Igazoljuk, hogy a D, E, F pontokon átmenő kör érinti az AC és a BC egyeneseket, továbbá érinti k-t is.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög szögeit a szokásos módon α, β, γ-val jelölve, a kerületi szögek tétele szerint AMB=ACB=γ, így az AMB és CDE egyenlő szárú háromszögekben

MAB=MBA=CDE=CED=π-γ2.
Ugyancsak a kerületi szögek tétele szerint MFA=MBA=MAB=MFB, vagyis
AFJ=π-AFM=π-ADJ=π-BEJ=π-BFM=BFJ.
Ezek alapján az ADJF és BEJF négyszög is húrnégyszög. Minthogy J az A-ból és B-ből induló külső szögfelezők metszéspontja,
JAD=JAB=π-α2,JBE=JBA=π-β2.
 
 


Mivel α, β, γ egy háromszög szögei,
π-α2+π-β2+π-γ2=3π2-α+β+γ2=π.


Emiatt az ADJ, AJB és JEB háromszögek hasonlók, és
DJA=π-β2,AJB=π-γ2,EJB=π-α2.
Felhasználva, hogy az ADJF és BEJF húrnégyszögek, FAD=π-FJD=FJE, továbbá
AFD=AJD=π-β2=JBE=JFE.
Ez azt jelenti, hogy az ADF és JEF háromszögek is hasonlók, vagyis
ADF=JEF=DEF.
Az ADF szög tehát megegyezik a DEF körben a DF húrhoz tartozó kerületi szöggel, tehát az AD egyenes érinti a DEF kört. Ezzel beláttuk, hogy a DEF kör érinti az AC egyenest, és ugyanígy a BC egyenest is.
Húzzunk most képzeletben érintőt az ABC és a DEF körhöz is az F pontban. Előbbi a BF húrral BAF, utóbbi az EF húrral EDF szöget zár be. Annak belátásához, hogy a két kör F-ben érinti egymást, elegendő megmutatni, hogy a két érintőegyenes egybeesik, vagyis, hogy BFE=BAF+EDF. Ismét kihasználhatjuk, hogy ADJF és BEJF húrnégyszög, továbbá azt is, hogy az ADJ és JEB háromszögek hasonlók. Ezek alapján
BAF+EDF=BAF+JAF=BAJ=JAD=BJE=BFE,
ahogy azt bizonyítani kívántuk.