Kezdőlap


Feladat:	2014. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2014/november, 494 - 499. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Reális gázok állapotegyenlete (van der Waals-egyenlet), Görbületi nyomás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/október: 2014. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rész. Reális gázok állapotegyenlete
A1. A van der Waals-gáz

\begin{matrix} (p + \frac{a}{V^{2}}) (V - b) = R T \end{matrix}

(1)

állapotegyenletében szereplő

b

paraméter egy mólnyi részecske saját térfogatát jelenti, így ha a részecskéket

d

átmérőjű gömböknek tekintjük, akkor

\begin{matrix} b = N_{A} \frac{4 π}{3} {(\frac{d}{2})}^{3} = N_{A} \frac{π}{6} d^{3}, \end{matrix}

(2)

ahol

N_{A}

az Avogadro-szám. Csak becslésről van szó, hasonló nagyságrendű értéket kapunk, ha a részecskéket

d

oldalú kockának vagy

d

sugarú gömbnek tekintjük.
A2. A

T_{k}

kritikus hőmérséklet fölött minden izoterma mentén a

p

nyomás szigorúan monoton csökkenő függvénye a

V

térfogatnak,

T < T_{k}

esetén pedig a

p (V)

függvénynek van egy növekedő szakasza. A kritikus izotermának a

(V_{k}, p_{k})

kritikus pontban vízszintes inflexiós pontja van, tehát

\begin{matrix} {(\frac{d p}{d V})}_{T = T_{k}} (V_{k}) = 0, {(\frac{d^{2} p}{d V^{2}})}_{T = T_{k}} (V_{k}) = 0. \end{matrix}

Az (1) állapotegyenlet alapján

\begin{matrix} p (V) = \frac{R T_{k}}{V - b} - \frac{a}{V^{2}}, \end{matrix}

ahonnan deriválással a

\begin{matrix} - \frac{R T_{k}}{{(V_{k} - b)}^{2}} + \frac{2 a}{V_{k}^{3}} = 0, \frac{2 R T_{k}}{{(V_{k} - b)}^{3}} - \frac{6 a}{V_{k}^{4}} = 0 \end{matrix}

egyenletrendszert kapjuk. Innen kifejezhetőek a kritikus állapotjelzők az

a

és

b

paraméterek függvényében:

\begin{matrix} V_{k} = 3 b, T_{k} = \frac{8 a}{27 R b}, p_{k} = \frac{a}{27 b^{2}}, \end{matrix}

majd megkaphatók a keresett összefüggések is:

\begin{matrix} a = \frac{27 R^{2} T_{k}^{2}}{64 p_{k}}, b = \frac{R T_{k}}{8 p_{k}} . \end{matrix}

(3)

A3. A (3) egyenletekbe a megadott

T_{k} = 647

K és

p_{k} = 2, 2 \cdot 10^{7}

Pa értékeket behelyettesítve adódik víz esetén az eredmény:

\begin{matrix} a_{víz} = 0, 56 \frac{m^{6} \cdot Pa}{{mol}^{2}}, b_{víz} = 3, 1 \cdot 10^{- 5} \frac{m^{3}}{mol} . \end{matrix}

(4)

A4. A (2) egyenlet alapján

\begin{matrix} d_{víz} = \sqrt[3]{\frac{6 b_{víz}}{π N_{A}}} = 4, 6 \cdot 10^{- 10} m. \end{matrix}

(5)

B rész. Gáz- és folyadékfázis tulajdonságai. Ebben a részben

T = 100^{\circ} C =373 K

hőmérsékletű,

p_{0} = 1, 0 \cdot 10^{5}

Pa nyomású vízzel (illetve vízgőzzel) foglalkozunk, tehát a

T

és

p_{0}

mennyiségek ismert konstansok. A van der Waals-egyenletben szereplő

a

és

b

konstansok helyére mindenütt a (4) egyenletben kapott

a_{víz}

és

b_{víz}

értékeket helyettesítjük.
B1. A

b ≪ V_{G}

feltevés mellett a van der Waals-gáz (1) állapotegyenlete egy

V

-ben másodfokú egyenletre egyszerűsödik:

\begin{matrix} (P + \frac{a}{V_{G}^{2}}) V_{G} = R T \Rightarrow P V_{G}^{2} - R T V_{G} + a = 0. \end{matrix}

Az adott

T = 100^{\circ} C

hőmérsékleten és

p_{0} = 1, 0 \cdot 10^{5}

Pa nyomáson a másodfokú egyenlet nagyobbik gyöke adja meg a gőz móltérfogatát, tehát

\begin{matrix} V_{G} = \frac{R T}{2 p_{0}} (1 + \sqrt[]{1 - \frac{4 a p_{0}}{R^{2} T^{2}}}) \approx \frac{R T}{p_{0}} - \frac{a}{R T} = 3, 1 \cdot 10^{- 2} \frac{m^{3}}{mol} . \end{matrix}

(6)

A közelítésnél felhasználtuk, hogy

{(1 + ε)}^{α} \approx 1 + α ε

, ha

| ε | ≪ 1

. Esetünkben

| ε | = \frac{4 a p_{0}}{R^{2} T^{2}} = 0, 023 ≪ 1

, így a közelítés hibája (mely

ε^{2}

-tel arányos) kisebb, mint 1%. Látható, hogy

\frac{V_{G}}{b} = 10^{3}

, így valóban teljesül a kiindulásnál használt

b ≪ V_{G}

feltétel.
B2. Az ideális gáz állapotegyenletéből a

V_{G0} = \frac{R T}{p_{0}}

kifejezés adódik a móltérfogatra, így a relatív eltérés

\begin{matrix} \frac{Δ V_{G}}{V_{G0}} = \frac{V_{G0} - V_{G}}{V_{G0}} = \frac{1}{2} (1 - \sqrt[]{1 - \frac{4 a p_{0}}{R^{2} T^{2}}}) \approx \frac{a p_{0}}{R^{2} T^{2}} = 0, 58 = 58 % . \end{matrix}

B3. A belső stabilitást leíró

\frac{d p}{d V} < 0

feltétel egyszerűen megérthető; ha ez nem teljesülne, akkor térfogatcsökkenéshez nyomáscsökkenés tartozna, ami újabb térfogatcsökkenést eredményezne, tehát a gáz ,,összeesne'', megindulna a kondenzáció.
A gőz állapotban teljesülő

b ≪ V

feltétel mellett a van der Waals gáz nyomása

p (V) = \frac{R T}{V} - \frac{a}{V^{2}}

, így a maximális túlhűtéshez tartozó

V_{G, min}

minimális móltérfogat a

\begin{matrix} {(\frac{d P (V_{G, min})}{d V})}_{T = áll.} = \frac{- R T}{V_{G, min}^{2}} + \frac{2 a}{V_{G, min}^{3}} = 0 egyenletből V_{G, min} = \frac{2 a}{R T} . \end{matrix}

A (6) eredmény felhasználásával a keresett hányados:

\begin{matrix} \frac{V_{G}}{V_{G, min}} \approx \frac{R^{2} T^{2}}{2 a p_{0}} - \frac{1}{2} \approx \frac{R^{2} T^{2}}{2 a p_{0}} = 86. \end{matrix}

B4. Folyadék halmazállapotban a móltérfogat kicsi,

p ≪ \frac{a}{V_{F}^{2}}

, így a van der Waals gáz (1) állapotegyenlete most is egy másodfokú egyenletre egyszerűsödik:

\begin{matrix} \frac{a}{V_{F}^{2}} (V_{F} - b) = R T \Rightarrow R T V_{F}^{2} - a V_{F} + a b = 0, \end{matrix}

aminek a kisebbik gyöke adja meg a folyadék fajlagos térfogatát:

\begin{matrix} V_{F} = \frac{a}{2 R T} (1 - \sqrt[]{1 - \frac{4 R T b}{a}}) = 4, 0 \cdot 10^{- 5} \frac{m^{3}}{mol} . \end{matrix}

(7)

A kapott értékkel számolva

\frac{a}{p_{0} V_{F}^{2}} = 3, 5 \cdot 10^{3}

, tehát valóban teljesül a kiindulásnál használt

p ≪ \frac{a}{V_{F}^{2}}

feltétel.
B5. A víz sűrűsége:

\begin{matrix} ρ_{F} = \frac{μ}{V_{F}} = \frac{1, 8 \cdot 10^{- 2} \frac{kg}{mol}}{4, 0 \cdot 10^{- 5} \frac{m^{3}}{mol}} = 4, 5 \cdot 10^{2} \frac{kg}{m^{3}} . \end{matrix}

(8)

Látható, hogy a kapott érték csak nagyságrendi becslés.
B6. Célszerű a (7) kifejezést

T

-ben hatványsorba fejteni. Felhasználva, hogy

\sqrt[]{1 - ε} \approx 1 - \frac{1}{2} ε - \frac{1}{8} ε^{2}

, ha

| ε | < 1

ε = \frac{4 R T b}{a} = 0, 69

helyettesítéssel azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} V_{F} \approx \frac{a}{2 R T} (\frac{2 R T b}{a} + \frac{2 R^{2} T^{2} b^{2}}{a^{2}}) = b + \frac{R T b^{2}}{a} \approx b . \end{matrix}

A folyadék móltérfogata első közelítésben a

b

paraméterrel egyezik meg, ami a részecskék saját térfogata. Az

ε = 0, 69

érték egynél kisebb, de nem jóval kisebb, ezért a közelítés nem igazán pontos; a (7) egyenletben kapott érték mintegy 25%-kal eltér a (4) egyenletben szereplő

b

értéktől.
A térfogati hőtágulási együttható számolásához a

V_{F}

másodrendű közelítését kell használni:

\begin{matrix} α = \frac{1}{V_{F}} \frac{Δ V_{F}}{Δ T} = \frac{R b^{2}}{V_{F} a} \approx \frac{R b}{a} = 4, 6 \cdot 10^{- 4} \frac{1}{K} . \end{matrix}

B7. A forráshő pontos meghatározásához szükségünk van a van der Waals gáz másik, úgynevezett kalorikus állapotegyenletére, mely az

U

moláris belső energiát adja meg a hőmérséklet és móltérfogat függvényében:

\begin{matrix} U = c_{V} T - \frac{a}{V}, \end{matrix}

(9)

ahol a

c_{V}

konstans a gáz állandó térfogaton mért mólhője. A víz (tömegegységre vonatkoztatott) forráshője a termodinamika I. főtételét felhasználva

\begin{matrix} L = \frac{Q}{μ} = \frac{Δ U - W}{μ} \end{matrix}

alakban írható, ahol

μ = 1, 8 \cdot 10^{- 2} \frac{kg}{mol}

a víz móltömege és

Q

, illetve

W

egy mól víz elforralásához szükséges hő, illetve munka. Minthogy a forralás során a nyomás és a hőmérséklet állandó,

\begin{matrix} Δ U = U_{G} - U_{F} = - \frac{a}{V_{G}} + \frac{a}{V_{F}}, - W = \int_{V_{F}}^{V_{G}} p_{0} d V = p_{0} (V_{G} - V_{F}) . \end{matrix}

Ezeket beírva a forráshő képletébe, majd figyelembe véve, hogy

V_{F} ≪ V_{G}

\begin{matrix} L = \frac{a}{μ} (\frac{1}{V_{F}} - \frac{1}{V_{G}}) + \frac{p_{0}}{μ} (V_{G} - V_{F}) \approx {\underset{︸}{\frac{a}{μ V_{F}}}}_{7, 78 \cdot 10^{5} \frac{J}{kg}}^{} + {\underset{︸}{\frac{p_{0} V_{G}}{μ}}}_{1, 72 \cdot 10^{5} \frac{J}{kg}}^{} = 9, 5 \cdot 10^{5} \frac{J}{kg} . \end{matrix}

(10)

Az eredménynek most is csak a nagyságrendje helyes; a víz forráshője

2, 26 \cdot 10^{6} \frac{J}{kg}

.
A fenti gondolatmenethez szükséges a (9) egyenlet ismerete, ami nem volt megadva a feladatban, azonban (mélyebb termodinamikai összefüggések felhasználásával) következik (1) állapotegyenletből, és abból a feltételből, hogy híg gáz határesetben a van der Waals gáz viselkedése az ideális gázéhoz közelít.
Igen elnagyoltan a következőképpen is eljuthatunk a forráshő becsléséhez. A forraláshoz szükséges hő egyrészt a tágulási munkát fedezi, másrészt az egymással vonzó kölcsönhatásban levő részecskék eltávolításához szükséges. A tágulási munka éppen a (10) egyenlet második tagja. A vonzó kölcsönhatást (1) állapotegyenletben a nyomást korrigáló

\frac{a}{V^{2}}

tag írja le, tehát ezen nyomás ellen végzett térfogati munka adja meg a részecskék kölcsönhatási energiájának megváltozását. Ez a (10) egyenlet első tagját adja, hiszen

\begin{matrix} \int_{V_{F}}^{V_{G}} \frac{a}{V^{2}} d V = {[\frac{- a}{V}]}_{V_{F}}^{V_{G}} = \frac{a}{V_{F}} - \frac{a}{V_{G}} . \end{matrix}

A számértékekből látszik, hogy ez a tag adja a forráshő nagyobb részét. A tágulási munkát elhanyagolva, a

V_{F} \approx b

közelítéssel

\begin{matrix} L \approx \frac{a}{μ b} = 10^{6} \frac{J}{kg} \end{matrix}

(11)

adódik.
B8. Képzeljük el, hogy

m

tömegű vizet elforralunk, illetve ,,kilapítunk'' egyetlen molekula, azaz

d_{víz}

vastagságú réteggé. Első esetben

L m

hőt kell befektetnünk. Második esetben a folyadék felszíne

A = \frac{2 m}{ρ_{F} d_{víz}}

-re nő, tehát

A σ = \frac{2 m σ}{ρ_{F} d_{víz}}

munkát kell végeznünk. A két energia jó közelítéssel megegyezik, hiszen mindkettő lényegében a részecskék közti kötések felszakításához szükséges. A korábbi (4), (5), (8) és (11) eredmények felhasználásával:

\begin{matrix} L m \approx \frac{2 m σ}{ρ_{F} d_{víz}} \Rightarrow σ \approx \frac{1}{2} L ρ_{F} d_{víz} \approx \frac{a d_{víz}}{2 b^{2}} = 0, 1 \frac{N}{m} . \end{matrix}

C rész. Folyadék-gáz rendszer
C1. A kapilláris csőben levő vízfelszínre írjuk föl a nyomások egyensúlyát! A víz

h

mélységben mérhető

ρ_{F} g h

hidrosztatikai nyomásával tart egyensúlyt a csőben levő gőz

ρ_{G} g h

hidrosztatikai nyomása és a felületi feszültségből származó

\frac{2 σ}{r}

nyomás, tehát

\begin{matrix} ρ_{F} g h = ρ_{G} g h + \frac{2 σ}{r} \Rightarrow h = \frac{2 σ}{(ρ_{F} - ρ_{G}) g r} \approx \frac{2 σ}{ρ_{F} g r} . \end{matrix}

A nyomásnövekedés a

h

magasságú gőzoszlop hidrosztatikai nyomásával egyezik meg, tehát

\begin{matrix} Δ p_{T} = ρ_{G} g h = \frac{2 σ}{r} \frac{ρ_{G}}{ρ_{F} - ρ_{G}} \approx \frac{2 σ ρ_{G}}{r ρ_{F}} . \end{matrix}

(12)

C2. A megadott egyenletek alapján a telített vízgőz nyomásának hőmérsékletfüggése:

\begin{matrix} p_{FG} (T) = e^{A} \cdot e^{\frac{B}{T}} = \frac{a}{b^{2}} e^{- \frac{a}{b R T} - 1}, \end{matrix}

ahonnan differenciálással azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} p_{FG} (T_{0} - Δ t) \approx p_{0} - p'_{FG} (T_{0}) Δ t = p_{0} (1 - \frac{a Δ t}{b R T_{0}^{2}}), \end{matrix}

tehát

Δ t = 5^{\circ} C

hőmérséklet-csökkenés esetén a telített gőz nyomása

Δ p_{FG} = p_{0} \frac{a Δ t}{b R T_{0}^{2}}

értékkel csökken. Ugyanakkor a kicsiny

r

görbületi sugár a (12) egyenlet értelmében megnöveli a telített gőz nyomását. A két egyenlet összevetéséből adódik a cseppképződéshez szükséges minimális görbületi sugár:

\begin{matrix} Δ p_{T} = Δ p_{FG} \Rightarrow \frac{2 σ ρ_{G}}{r ρ_{F}} = p_{0} \frac{a Δ t}{b R T_{0}^{2}} \Rightarrow r = \frac{2 σ ρ_{G} b R T_{0}^{2}}{a p_{0} ρ_{F} Δ t} . \end{matrix}

Ha a telített gőzt ideális gáznak tekintjük, akkor sűrűsége

ρ_{G} = \frac{μ p_{0}}{R T_{0}}

, a folyadék víz sűrűsége pedig korábbi (8) eredményünk alapján

ρ_{F} \approx \frac{μ}{b}

. Ezeket felhasználva a következő eredményt kapjuk:

\begin{matrix} r = \frac{2 σ b^{2}}{a} \frac{T_{0}}{Δ t} = 1, 5 \cdot 10^{- 8} m. \end{matrix}