Feladat: 4550. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Antalicz Balázs ,  Balogh Menyhért ,  Kollarics Sándor ,  Kovács Áron ,  Olosz Balázs 
Füzet: 2014/február, 107 - 108. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Egyéb egyenáram, Vezetők elektrosztatikus mezőben, Áramvezetőre ható erő
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2013/május: 4550. fizika feladat

Két egyforma, d átmérőjű, igen hosszú, elhanyagolható ellenállású egyenes vezető egymástól D=50d távolságra helyezkedik el (LD). A vezetők egyik végét U feszültségű telep, másik végét R ellenállás köti össze. Mekkora az R ellenállás, ha a vezetők között fellépő elektromos és mágneses erők egyenlő nagyok?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. A vezetők ellenállása elhanyagolható, ezért mindkét szál felülete lényegében ekvipotenciális lesz, és a potenciálkülönbség közöttük U. A vezetők között elektromos és mágneses tér alakul ki, az ezekből származó erőhatásokat akarjuk kiszámítani.
Az egyik vezető szál felületén pozitív, a másikon pedig negatív töltések halmozódnak fel, felületegységenként +σ és -σ. Az általuk keltett elektromos mezőt külön-külön számoljuk egy-egy vezetőre, majd az erőterek szuperpozícióját képezzük. Ha csak egyetlen töltött szálunk lenne, annak elektromos erőtere nyilván hengerszimmetrikus és a szál tengelyétől r távolságra
E(r)=σd2ε01r
nagyságú volna. Ezt a Gauss-féle fluxustörvény alapján láthatjuk be, ha azt egy r sugarú, L hosszúságú, a szálat koncentrikusan körülvevő hengerre írjuk fel:
E2πrL=1ε0Ldπσ.
Innen E(r)-t kifejezve valóban a fentebb megadott 1/r-es távolságfüggésű térerősség adódik.
Egyetlen szál elektromos erőtere a két vezető között U/2 potenciálkülönbséget kell adjon, hiszen a két szál együttes erőtere hozza létre a telep feszültségének megfelelő U-t. A feszültség és a térerősség kapcsolata:
U2=r=d/2DE(r)Δr=r=d/2DE(r)dr=σd2ε0r=d/2D1rdr.
Az integrál értéke (a függvénytáblázatban megtalálható matematikai képletek alapján, vagy pl. a gázok izotermikus tágulásánál végzett munka analóg képletének felhasználásával):
ab1rdr=lnba,
ahonnan
U2=σd2ε0ln2Dd,
tehát a szálak felületi töltéssűrűsége:
σ=ε0Udln100.

A szálak között ható elektromos vonzóerő az egyik szál által a másik szál helyén létrehozott (átlagos) elektromos térerősség és a másik szál töltésének szorzata:
Felektromos=E(r=D)Q=σd2ε01DσdπL=ε0πLU22D(ln100)2.

A mágneses erő a vezetőkben folyó, I erősségű áram mágneses teréből származik:
Fmágneses=BIL=μ0I2πDIL=μ02πLDU2R2.
(Az utolsó lépésnél kihasználtuk az I=U/R Ohm-törvényt; R a keresett terhelő ellenállás.)
A megadott feltétel szerint Felektromos=Fmágneses, vagyis
ε0πLU22D(ln100)2=μ02πLDU2R2,
ahonnan
R=μ0ε01πln100=553Ω.
Ekkora terhelés esetén lesz egyenlő nagyságú az ellentétes töltések vonzóereje és az ellentétes irányban folyó áramok taszítóereje.
 
Megjegyzés. Érdekes, hogy R nem függ sem a vezeték hosszától, sem a telep feszültségétől, és még a D/d1 arány is csak logaritmikusan (tehát egy lassan változó függvény argumentumában) fordul elő
 
a képletében. R nagyságrendjét az univerzális μ0/ε0377Ω mennyiség határozza meg, amit szokás hullámimpedanciának, vagy más néven a vákuum inpedanciájának nevezni.