Feladat:	4550. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antalicz Balázs ,  Balogh Menyhért ,  Kollarics Sándor ,  Kovács Áron ,  Olosz Balázs
Füzet:	2014/február, 107 - 108. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb egyenáram, Vezetők elektrosztatikus mezőben, Áramvezetőre ható erő
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/május: 4550. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A vezetők ellenállása elhanyagolható, ezért mindkét szál felülete lényegében ekvipotenciális lesz, és a potenciálkülönbség közöttük $U$. A vezetők között elektromos és mágneses tér alakul ki, az ezekből származó erőhatásokat akarjuk kiszámítani. Az egyik vezető szál felületén pozitív, a másikon pedig negatív töltések halmozódnak fel, felületegységenként $+\sigma$ és $-\sigma$. Az általuk keltett elektromos mezőt külön-külön számoljuk egy-egy vezetőre, majd az erőterek szuperpozícióját képezzük. Ha csak egyetlen töltött szálunk lenne, annak elektromos erőtere nyilván hengerszimmetrikus és a szál tengelyétől $r$ távolságra $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(r\right)=\frac{\sigma d}{2{\epsilon }_0}\cdot \frac{1}{r}}\end{array}$ nagyságú volna. Ezt a Gauss-féle fluxustörvény alapján láthatjuk be, ha azt egy $r$ sugarú, $L$ hosszúságú, a szálat koncentrikusan körülvevő hengerre írjuk fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle E\cdot 2\pi rL=\frac{1}{{\epsilon }_0}\cdot Ld\pi \cdot \sigma \mathrm{.}}\end{array}$ Innen $E\left(r\right)$-t kifejezve valóban a fentebb megadott $1/r$-es távolságfüggésű térerősség adódik. Egyetlen szál elektromos erőtere a két vezető között $U/2$ potenciálkülönbséget kell adjon, hiszen a két szál együttes erőtere hozza létre a telep feszültségének megfelelő $U$-t. A feszültség és a térerősség kapcsolata: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{U}{2}=\sum _{r=d/2}^{D}E\left(r\right)\Delta r=\underset{r=d/2}{\overset{D}{\int }}E\left(r\right)\text{d}r=\frac{\sigma d}{2{\epsilon }_0}\underset{r=d/2}{\overset{D}{\int }}\frac{1}{r}\text{d}r\mathrm{.}}\end{array}$ Az integrál értéke (a függvénytáblázatban megtalálható matematikai képletek alapján, vagy pl. a gázok izotermikus tágulásánál végzett munka analóg képletének felhasználásával): $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{r}\text{d}r=\text{ln}\frac{b}{a}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{U}{2}=\frac{\sigma d}{2{\epsilon }_0}\text{ln}\frac{2D}{d}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát a szálak felületi töltéssűrűsége: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sigma =\frac{{\epsilon }_{0}U}{d\text{ln}100}\mathrm{.}}\end{array}$ A szálak között ható elektromos vonzóerő az egyik szál által a másik szál helyén létrehozott (átlagos) elektromos térerősség és a másik szál töltésének szorzata: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{elektromos}}=E\left(r=D\right)\cdot Q=\frac{\sigma d}{2{\epsilon }_0}\cdot \frac{1}{D}\cdot \sigma d\pi L=\frac{{\epsilon }_0\pi L{U}^2}{2D\cdot {\left(\text{ln}100\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ A mágneses erő a vezetőkben folyó, $I$ erősségű áram mágneses teréből származik: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{mágneses}}=BIL=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi D}IL=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{L}{D}\frac{U^2}{R^2}\mathrm{.}}\end{array}$ (Az utolsó lépésnél kihasználtuk az $I=U/R$ Ohm-törvényt; $R$ a keresett terhelő ellenállás.) A megadott feltétel szerint $F_{\text{elektromos}}=F_{\text{mágneses}}$, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\epsilon }_0\pi L{U}^2}{2D\cdot {\left(\text{ln}100\right)}^2}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{L}{D}\frac{U^2}{R^2}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle R=\sqrt[]{\frac{{\mu }_0}{{\epsilon }_0}}\cdot \frac{1}{\pi }\cdot \text{ln}100=553\Omega \mathrm{.}}\end{array}$ Ekkora terhelés esetén lesz egyenlő nagyságú az ellentétes töltések vonzóereje és az ellentétes irányban folyó áramok taszítóereje.   Megjegyzés. Érdekes, hogy $R$ nem függ sem a vezeték hosszától, sem a telep feszültségétől, és még a $D/d\gg 1$ arány is csak logaritmikusan (tehát egy lassan változó függvény argumentumában) fordul elő   a képletében. $R$ nagyságrendjét az univerzális $\sqrt[]{{\mu }_0/{\epsilon }_0}\approx 377\Omega$ mennyiség határozza meg, amit szokás hullámimpedanciának, vagy más néven a vákuum inpedanciájának nevezni.