Feladat: 3931. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bőle Pál ,  Drozdy András ,  Dudás János ,  Földes Tamás ,  Megyeri Balázs ,  Szabó Áron 
Füzet: 2007/május, 310 - 312. oldal  PDF file
Témakör(ök): Bolygómozgás, Kepler törvények, Üstökösök, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/november: 3931. fizika feladat

Legalább mekkora és legfeljebb mekkora sebességgel csapódhatna a Földbe egy, a Nap körül keringő üstökös, ha nem lenne levegő a Föld körül?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) Vizsgáljuk először a ,,legfeljebb mekkora ...'' esetet!
Az üstökösök ‐ ahogy a bolygók is ‐ ellipszispályán keringenek, melynek egyik gyújtópontjában a Nap található. Egy ellipszispályán keringő égitest pillanatnyi sebességét (a Naphoz rögzített koordináta-rendszerben) a

vp=γM(2r-1a)
képlet adja meg, ahol a a fél nagytengely, M a Nap tömege, r pedig a vezérsugár aktuális értéke. Ez a sebesség ‐ adott r mellett ‐ akkor a legnagyobb, ha az üstökös nagyon messziről (,,végtelen'' távolból) jön. Ilyenkor 1a gyakorlatilag nulla, vagyis az üstökös sebessége
vüγM2r.

Mivel azt az esetet vizsgáljuk, amikor az üstökös a Földbe csapódik, r a Földnek a Naptól mért távolságával kell egyenlő legyen. Az üstökös sebessége (ami 1/r-rel arányos) akkor a legnagyobb, amikor a Föld napközelben van. Ekkor r=1,471011m, vü42,4kms és a Föld sebessége (a Naphoz viszonyítva)
vF30,2kms.

Vizsgáljuk meg az üstökös sebességét a Földhöz viszonyítva! Az üstökös akkor érkezik a lehető legnagyobb sebességgel a Föld közelébe, ha a Föld keringési sebességével ellentétes irányú a sebessége (és a Föld felé tart). Ekkor a Földhöz rögzített koordináta-rendszerben az üstökös sebessége legfeljebb
vrel.=vF+vü=72,6kms
lehet.
Figyelembe kell még vegyük, hogy a fentebb kiszámított relatív sebességet a becsapódásig a Föld gravitációs vonzása tovább növeli. A gravitációs mező munkája (mialatt az m tömegű üstököst a végtelenből az R sugarú Föld felszínére vonzza) az üstökös mozgási energiáját, és így a sebességét is növeli:
Wgrav.=ΔEmozg.,
vagyis
-γMm(1Rmesszi-1R)γMmR=12mvbecsap.2-12mvrel.2.
Átrendezve és m-mel osztva kapjuk:
vbecsap.vrel.2+2γMFR72,62+11,22kms=73,5kms,
a Nap körül keringő üstökös tehát legfeljebb ekkora sebességgel érheti el a Földet.
b) Vizsgáljuk most a ,,legalább mekkora ...'' esetet!
Az üstökös és a Föld relatív sebessége (a föld gravitációs vonzásának számottevő hatása előtt) tetszőlegesen kicsi lehet; ehhez ,,csupán'' az szükséges, hogy az üstökösnek a Nap körüli keringési sebessége és a Földnek a Nap körüli sebessége a lehető legjobban megegyezzék. Ez akkor valósul meg, ha az üstökös pályája a lehető legjobban hasonlít a Föld pályájához, vagyis az üstökös gyakorlatilag a Föld pályáján kering.
Ha egy ilyen ‐ elképzelt ‐ üstökös a Földet lassan megközelítené, a Föld gravitációs vonzása felgyorsítaná, és az üstökös a Földbe csapódna. (A Föld pályáján ténylegesen nincsenek veszélyes üstökösök, ha lennének, akkor azokat már bizonyára régen észrevettük volna!) A becsapódás sebessége most is ugyanúgy számolható ki, mint az előző esetben, de vrel. helyébe nullát írhatunk:
vbecsap.2γMFR11,2kms.
A Nap körül keringő üstökös tehát legalább ekkora sebességgel éri el a Földet, ha annak csapódik.
 
Megjegyzés. A fent kiszámított becsapódási sebességek nem a Föld felszínéhez, hanem a Föld középpontjához viszonyítva értendők. Ha figyelembe vesszük azt a tényt, hogy a Föld forgása miatt az Egyenlítő pontjai kb. 0,5km/s sebességgel mozognak, a felszínhez viszonyított legnagyobb becsapódási sebesség (egy légkör nélküli Földön) akár 74 km/s is lehetne, a legkisebb becsapódási sebesség pedig 10,7 km/s-ra mérséklődhetne.