Kezdőlap


Feladat:	3931. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bőle Pál , Drozdy András , Dudás János , Földes Tamás , Megyeri Balázs , Szabó Áron
Füzet:	2007/május, 310 - 312. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Bolygómozgás, Kepler törvények, Üstökösök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/november: 3931. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Vizsgáljuk először a ,,legfeljebb mekkora $...$ '' esetet!
Az üstökösök ‐ ahogy a bolygók is ‐ ellipszispályán keringenek, melynek egyik gyújtópontjában a Nap található. Egy ellipszispályán keringő égitest pillanatnyi sebességét (a Naphoz rögzített koordináta-rendszerben) a

\begin{matrix} v_{p} = \sqrt[]{γ M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})} \end{matrix}

képlet adja meg, ahol

a

a fél nagytengely,

M

a Nap tömege,

r

pedig a vezérsugár aktuális értéke. Ez a sebesség ‐ adott

r

mellett ‐ akkor a legnagyobb, ha az üstökös nagyon messziről (,,végtelen'' távolból) jön. Ilyenkor

\frac{1}{a}

gyakorlatilag nulla, vagyis az üstökös sebessége

\begin{matrix} v_{ü} \leq \sqrt[]{γ M \frac{2}{r}} . \end{matrix}

Mivel azt az esetet vizsgáljuk, amikor az üstökös a Földbe csapódik,

r

a Földnek a Naptól mért távolságával kell egyenlő legyen. Az üstökös sebessége (ami

1 / \sqrt[]{r}

-rel arányos) akkor a legnagyobb, amikor a Föld napközelben van. Ekkor

r = 1, 47 \cdot 10^{11} m

v_{ü} \leq 42, 4 \frac{km}{s}

és a Föld sebessége (a Naphoz viszonyítva)

\begin{matrix} v_{F} \approx 30, 2 \frac{km}{s} . \end{matrix}

Vizsgáljuk meg az üstökös sebességét a Földhöz viszonyítva! Az üstökös akkor érkezik a lehető legnagyobb sebességgel a Föld közelébe, ha a Föld keringési sebességével ellentétes irányú a sebessége (és a Föld felé tart). Ekkor a Földhöz rögzített koordináta-rendszerben az üstökös sebessége legfeljebb

\begin{matrix} v_{rel.} = v_{F} + v_{ü} = 72, 6 \frac{km}{s} \end{matrix}

lehet.
Figyelembe kell még vegyük, hogy a fentebb kiszámított relatív sebességet a becsapódásig a Föld gravitációs vonzása tovább növeli. A gravitációs mező munkája (mialatt az

m

tömegű üstököst a végtelenből az

R

sugarú Föld felszínére vonzza) az üstökös mozgási energiáját, és így a sebességét is növeli:

\begin{matrix} W_{grav.} = Δ E_{mozg.}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} - γ M m (\frac{1}{R_{messzi}} - \frac{1}{R}) \approx γ \frac{M m}{R} = \frac{1}{2} m v_{becsap.}^{2} - \frac{1}{2} m v_{rel.}^{2} . \end{matrix}

Átrendezve és

m

-mel osztva kapjuk:

\begin{matrix} v_{becsap.} \leq \sqrt[]{v_{rel.}^{2} + 2 γ \frac{M_{F}}{R}} \approx \sqrt[]{72, 6^{2} + 11, 2^{2}} \frac{km}{s} = 73, 5 \frac{km}{s}, \end{matrix}

a Nap körül keringő üstökös tehát legfeljebb ekkora sebességgel érheti el a Földet.

b)

Vizsgáljuk most a ,,legalább mekkora

...

'' esetet!
Az üstökös és a Föld relatív sebessége (a föld gravitációs vonzásának számottevő hatása előtt) tetszőlegesen kicsi lehet; ehhez ,,csupán'' az szükséges, hogy az üstökösnek a Nap körüli keringési sebessége és a Földnek a Nap körüli sebessége a lehető legjobban megegyezzék. Ez akkor valósul meg, ha az üstökös pályája a lehető legjobban hasonlít a Föld pályájához, vagyis az üstökös gyakorlatilag a Föld pályáján kering.
Ha egy ilyen ‐ elképzelt ‐ üstökös a Földet lassan megközelítené, a Föld gravitációs vonzása felgyorsítaná, és az üstökös a Földbe csapódna. (A Föld pályáján ténylegesen nincsenek veszélyes üstökösök, ha lennének, akkor azokat már bizonyára régen észrevettük volna!) A becsapódás sebessége most is ugyanúgy számolható ki, mint az előző esetben, de

v_{rel.}

helyébe nullát írhatunk:

\begin{matrix} v_{becsap.} \geq \sqrt[]{2 γ \frac{M_{F}}{R}} \approx 11, 2 \frac{km}{s} . \end{matrix}

A Nap körül keringő üstökös tehát legalább ekkora sebességgel éri el a Földet, ha annak csapódik.

Megjegyzés. A fent kiszámított becsapódási sebességek nem a Föld felszínéhez, hanem a Föld középpontjához viszonyítva értendők. Ha figyelembe vesszük azt a tényt, hogy a Föld forgása miatt az Egyenlítő pontjai kb.

0, 5

km/s sebességgel mozognak, a felszínhez viszonyított legnagyobb becsapódási sebesség (egy légkör nélküli Földön) akár 74 km/s is lehetne, a legkisebb becsapódási sebesség pedig

10, 7

km/s-ra mérséklődhetne.