Feladat: 3918. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Pósa László ,  Susann Melinda Almosi 
Füzet: 2007/április, 245 - 246. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Egyéb merev test síkmozgások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/október: 3918. fizika feladat

M tömegű, l hosszúságú rudat súrlódásmentes csuklóra akasztunk az ábra szerint. A rudat a 3/4 részénél egy D állandójú húzó-nyomó rugó kapcsolja a falhoz. Mekkora a rúd lengésideje kis kitérések esetén?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A rúd lengésidejét úgy határozzuk meg, hogy keresünk egy vele azonos periódusidejű matematikai ingát. Ha egy l hosszúságú fonálinga ‐ azonos kezdeti kitérítés mellett ‐ ugyanúgy leng, mint a feladatban szereplő rúd, akkor a mozgásukra jellemző adatok (szögkitérés, szögsebesség, szöggyorsulás) is minden pillanatban megegyeznek.
Ha a rúd az egyensúlyi helyzetéhez képest α szöget elfordul, akkor tömegközéppontja vízszintes irányban l2sinα távolságnyit eltolódik, emiatt a gravitációs erő a csuklóra vonatkoztatva

M1=-Mgl2sinα
forgatónyomatékot fejt ki. Másrészt a csuklótól x=34l távolságban levő rugó a (kicsinynek feltételezett) elfordulás miatt xαxsinα értékkel összenyomódik, és így
M2=-Dx2sinα=-916Dl2sinα
forgatónyomatékkal hat a rúdra. A
Θ=13Ml2
tehetetlenségi nyomatékú rúd β szöggyorsulását a forgómozgás alapegyenlete határozza meg:
M1+M2=Θβ,
vagyis
β=-Mgl2+916Dl213Ml2sinα.

Másrészt tudjuk, hogy egy l hosszúságú matematikai inga mozgásegyenlete
β=-glsinα.
A két mozgásegyenlet akkor lesz ugyanolyan alakú, ha
l=16Mgl24Mg+27Dl,
a rúd lengésideje tehát (kis kitérések esetén):
T=2π16Ml24Mg+27Dl.

 
II. megoldás. A fizikai ingából és a hozzá kapcsolt rugóból álló rendszer összenergiája (a mozgási energia, a gravitációs helyzeti energia és a rugó rugalmas energiájának összege) a mozgás során időben állandó:
E=12(13Ml2)ω2+Mgl2(1-cosα)+12D(34lsinα)2=állandó,
ahol α a rúd szögkitérése, ω pedig a szögsebessége. Képezzük a fenti kifejezés idő szerinti deriváltját (és használjuk ki, hogy α deriváltja ω-val, a szögsebesség deriváltja pedig a β szöggyorsulással egyenlő):
0=13Ml2ωβ+Mgl2sinαω+D9l216sincosαω.
Innen (a kis kitéréseknél alkalmazható sinαα, cosα1 közelítéssel) a szöggyorsulás kifejezhető a szögkitéréssel:
β=-(32gl+2716DM)α=-ω02α,
ami a harmonikus rezgőmozgásra jellemző mozgásegyenlet, és a hozzá tartozó periódusidő:
T=2πω0=2π16Ml3(9Dl+8Mg).