Kezdőlap


Feladat:	3918. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pósa László , Susann Melinda Almosi
Füzet:	2007/április, 245 - 246. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb merev test síkmozgások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/október: 3918. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A rúd lengésidejét úgy határozzuk meg, hogy keresünk egy vele azonos periódusidejű matematikai ingát. Ha egy $l^{⋆}$ hosszúságú fonálinga ‐ azonos kezdeti kitérítés mellett ‐ ugyanúgy leng, mint a feladatban szereplő rúd, akkor a mozgásukra jellemző adatok (szögkitérés, szögsebesség, szöggyorsulás) is minden pillanatban megegyeznek.
Ha a rúd az egyensúlyi helyzetéhez képest $α$ szöget elfordul, akkor tömegközéppontja vízszintes irányban $\frac{l}{2} sin α$ távolságnyit eltolódik, emiatt a gravitációs erő a csuklóra vonatkoztatva

\begin{matrix} M_{1} = - M g \frac{l}{2} sin α \end{matrix}

forgatónyomatékot fejt ki. Másrészt a csuklótól

x = \frac{3}{4} l

távolságban levő rugó a (kicsinynek feltételezett) elfordulás miatt

x α \approx x sin α

értékkel összenyomódik, és így

\begin{matrix} M_{2} = - D x^{2} sin α = - \frac{9}{16} D l^{2} sin α \end{matrix}

forgatónyomatékkal hat a rúdra. A

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{3} M l^{2} \end{matrix}

tehetetlenségi nyomatékú rúd

β

szöggyorsulását a forgómozgás alapegyenlete határozza meg:

\begin{matrix} M_{1} + M_{2} = Θ β, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} β = - \frac{M g \frac{l}{2} + \frac{9}{16} D l^{2}}{\frac{1}{3} M l^{2}} sin α . \end{matrix}

Másrészt tudjuk, hogy egy

l^{⋆}

hosszúságú matematikai inga mozgásegyenlete

\begin{matrix} β = - \frac{g}{l^{⋆}} sin α . \end{matrix}

A két mozgásegyenlet akkor lesz ugyanolyan alakú, ha

\begin{matrix} l^{⋆} = \frac{16 M g l}{24 M g + 27 D l}, \end{matrix}

a rúd lengésideje tehát (kis kitérések esetén):

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{16 M l}{24 M g + 27 D l}} . \end{matrix}

II. megoldás. A fizikai ingából és a hozzá kapcsolt rugóból álló rendszer összenergiája (a mozgási energia, a gravitációs helyzeti energia és a rugó rugalmas energiájának összege) a mozgás során időben állandó:

\begin{matrix} E = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} M l^{2}) ω^{2} + M g \frac{l}{2} (1 - cos α) + \frac{1}{2} D {(\frac{3}{4} l sin α)}^{2} = állandó, \end{matrix}

ahol

α

a rúd szögkitérése,

ω

pedig a szögsebessége. Képezzük a fenti kifejezés idő szerinti deriváltját (és használjuk ki, hogy

α

deriváltja

ω

-val, a szögsebesség deriváltja pedig a

β

szöggyorsulással egyenlő):

\begin{matrix} 0 = \frac{1}{3} M l^{2} \cdot ω β + M g \frac{l}{2} sin α \cdot ω + D \frac{9 l^{2}}{16} sin cos α \cdot ω . \end{matrix}

Innen (a kis kitéréseknél alkalmazható

sin α \approx α

cos α \approx 1

közelítéssel) a szöggyorsulás kifejezhető a szögkitéréssel:

\begin{matrix} β = - (\frac{3}{2} \frac{g}{l} + \frac{27}{16} \frac{D}{M}) α = - ω_{0}^{2} α, \end{matrix}

ami a harmonikus rezgőmozgásra jellemző mozgásegyenlet, és a hozzá tartozó periódusidő:

\begin{matrix} T = \frac{2 π}{ω_{0}} = 2 π \sqrt[]{\frac{16 M l}{3 (9 D l + 8 M g)}} . \end{matrix}