Feladat: 3893. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blastik Zsófia ,  Kónya Gábor ,  Pósa László 
Füzet: 2007/április, 236 - 238. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb elemi részecskék, Bohr-modell, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/április: 3893. fizika feladat

A hidrogénatomban az elektront rövid ideig helyettesítheti a bomlékony müon. Az így keletkezett atomot müoniumnak nevezik. (A müon az elektronhoz hasonló, de annál 207-szer nagyobb tömegű részecske.) Mekkora a müonium sugara alapállapotban, és mekkora energia kell az ionizálásához?
Adatok: A hidrogénatom sugara kb. 0,05nm, ionizálási energiája 2,2aJ.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Oldjuk meg a feladatot a Bohr-féle atommodell keretei között! (Ez a modell ugyan nem ad teljes képet a kvantumos jelenségekről, de a hidrogénszerű atomok méretét és ionizációs energiáját helyesen írja le.)
A Bohr-féle kvantumfeltétel szerint az atommag körül keringő részecske impulzusnyomatéka csak =h2π (h-vonás) egész számú többszöröse lehet, ahol h a Planck-állandó. Ebből a feltételből és a Coulomb-törvénnyel felírt Newton-féle mozgásegyenletből levezethető (lásd pl. Holics L.: Fizika 2., 965‐967. oldal), hogy egy nehéz magból és egy -e töltésű, m tömegű részecskéből álló alapállapotú atom mérete (sugara)

r=kme2,(1)
ionizációs (kötési) energiája pedig
E=-k2e4m22.(2)

A müonium és a hidrogénatom csak a könnyű részecske tömegében különbözik egymástól. Mivel az atom mérete m-mel fordítottan, a kötési energia pedig egyenesen arányos, ezek a mennyiségek a hidrogénhez képest 207-szer kisebb, illetve nagyobb számértékűek lesznek:
rmüonium=1207rhidrogén=2,410-13m,
Emüonium  =207 Ehidrogén  =-4,5  10-16 
J.  


 
II. megoldás. A hidrogénatomban az elektron valamekkora r sugarú (méretű) térrészben helyezkedik el az atommag (proton) körül, potenciális (elektrosztatikus) energiája tehát nagyságrendileg
Epot.=-ke2r.
Mozgási energiája a Heisenberg-féle ΔxΔp határozatlansági reláció miatt nem lehet nulla, hanem legalább
Emozg.=12mv2=p22m22m(Δx)222mr2,
ahol p az elektron impulzusa. (Ebben a meggondolásban az elektron helyének határozatlanságát ‐ nagyságrendi becslésként ‐ az atom sugarával közelítettük.)
Az atom teljes energiája a potenciális és a mozgási energia összege, vagyis
E(r)=-ke2r+22mr2=-Ar+Br2=B(1r-A2B)2-A24B
alakú, ahol A és B az elektron adataival és univerzális konstansokkal kifejezhető állandók.
Az atom alapállapotát az E(r) függvény minimuma adja meg; ez nyilván az
r0=2BA1m
sugárnál van, és az energiaminimum értéke
E0=-A24Bm.
Ezen arányosságok és a hidrogénatom adatainak ismeretében a müonium méretét és kötési energiáját könnyen kiszámíthatjuk, és az I. megoldásban leírt eredményt kapjuk.
 
III. megoldás. A feladatot dimenzionális megfontolásokkal is megoldhatjuk. Az atom méretét és kötési energiáját meghatározó összefüggések az elektron tömegétől, a Coulomb-kölcsönhatás erősségét megadó ke2 kifejezéstől és a kvantumfizika alapmennyiségétől, a h Planck-állandótól függhetnek. Ezekből a dimenziós mennyiségekből csak úgy jöhet ki m, illetve J dimenzió, ha
rhkme2,illetveEk2e4mh2.
Ezekből az arányosságokból leolvashatjuk, hogy a müonium sugara a hidrogénatom sugarának 207-ed része, kötési energiája pedig (abszolút értékben) 207-szer nagyobb, mint a hidrogéné.