A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Oldjuk meg a feladatot a Bohr-féle atommodell keretei között! (Ez a modell ugyan nem ad teljes képet a kvantumos jelenségekről, de a hidrogénszerű atomok méretét és ionizációs energiáját helyesen írja le.) A Bohr-féle kvantumfeltétel szerint az atommag körül keringő részecske impulzusnyomatéka csak (-vonás) egész számú többszöröse lehet, ahol a Planck-állandó. Ebből a feltételből és a Coulomb-törvénnyel felírt Newton-féle mozgásegyenletből levezethető (lásd pl. Holics L.: Fizika 2., 965‐967. oldal), hogy egy nehéz magból és egy töltésű, tömegű részecskéből álló alapállapotú atom mérete (sugara) ionizációs (kötési) energiája pedig A müonium és a hidrogénatom csak a könnyű részecske tömegében különbözik egymástól. Mivel az atom mérete -mel fordítottan, a kötési energia pedig egyenesen arányos, ezek a mennyiségek a hidrogénhez képest 207-szer kisebb, illetve nagyobb számértékűek lesznek:
II. megoldás. A hidrogénatomban az elektron valamekkora r sugarú (méretű) térrészben helyezkedik el az atommag (proton) körül, potenciális (elektrosztatikus) energiája tehát nagyságrendileg Mozgási energiája a Heisenberg-féle Δx⋅Δp≥ℏ határozatlansági reláció miatt nem lehet nulla, hanem legalább | Emozg.=12mv2=p22m≥ℏ22m(Δx)2≈ℏ22mr2, | ahol p az elektron impulzusa. (Ebben a meggondolásban az elektron helyének határozatlanságát ‐ nagyságrendi becslésként ‐ az atom sugarával közelítettük.) Az atom teljes energiája a potenciális és a mozgási energia összege, vagyis | E(r)=-ke2r+ℏ22mr2=-Ar+Br2=B(1r-A2B)2-A24B | alakú, ahol A és B az elektron adataival és univerzális konstansokkal kifejezhető állandók. Az atom alapállapotát az E(r) függvény minimuma adja meg; ez nyilván az sugárnál van, és az energiaminimum értéke Ezen arányosságok és a hidrogénatom adatainak ismeretében a müonium méretét és kötési energiáját könnyen kiszámíthatjuk, és az I. megoldásban leírt eredményt kapjuk.
III. megoldás. A feladatot dimenzionális megfontolásokkal is megoldhatjuk. Az atom méretét és kötési energiáját meghatározó összefüggések az elektron tömegétől, a Coulomb-kölcsönhatás erősségét megadó ke2 kifejezéstől és a kvantumfizika alapmennyiségétől, a h Planck-állandótól függhetnek. Ezekből a dimenziós mennyiségekből csak úgy jöhet ki m, illetve J dimenzió, ha | r∼hkme2,illetveE∼k2e4mh2. | Ezekből az arányosságokból leolvashatjuk, hogy a müonium sugara a hidrogénatom sugarának 207-ed része, kötési energiája pedig (abszolút értékben) 207-szer nagyobb, mint a hidrogéné. |