Kezdőlap


Feladat:	3893. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blastik Zsófia , Kónya Gábor , Pósa László
Füzet:	2007/április, 236 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb elemi részecskék, Bohr-modell, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/április: 3893. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Oldjuk meg a feladatot a Bohr-féle atommodell keretei között! (Ez a modell ugyan nem ad teljes képet a kvantumos jelenségekről, de a hidrogénszerű atomok méretét és ionizációs energiáját helyesen írja le.)
A Bohr-féle kvantumfeltétel szerint az atommag körül keringő részecske impulzusnyomatéka csak $ℏ = \frac{h}{2 π}$ ( $h$ -vonás) egész számú többszöröse lehet, ahol $h$ a Planck-állandó. Ebből a feltételből és a Coulomb-törvénnyel felírt Newton-féle mozgásegyenletből levezethető (lásd pl. Holics L.: Fizika 2., 965‐967. oldal), hogy egy nehéz magból és egy $- e$ töltésű, $m$ tömegű részecskéből álló alapállapotú atom mérete (sugara)

\begin{matrix} r = \frac{ℏ}{k m e^{2}}, \end{matrix}

(1)

ionizációs (kötési) energiája pedig

\begin{matrix} E = - \frac{k^{2} e^{4} m}{2 ℏ^{2}} . \end{matrix}

(2)

A müonium és a hidrogénatom csak a könnyű részecske tömegében különbözik egymástól. Mivel az atom mérete

m

-mel fordítottan, a kötési energia pedig egyenesen arányos, ezek a mennyiségek a hidrogénhez képest 207-szer kisebb, illetve nagyobb számértékűek lesznek:

\begin{matrix} r_{müonium} & = \frac{1}{207} r_{hidrogén} = 2, 4 \cdot 10^{- 13} m,E_{müonium}=207E_{hidrogén}=-4,5\cdot10^{- 16} J. \end{matrix}

II. megoldás. A hidrogénatomban az elektron valamekkora

r

sugarú (méretű) térrészben helyezkedik el az atommag (proton) körül, potenciális (elektrosztatikus) energiája tehát nagyságrendileg

\begin{matrix} E_{pot.} = - k \frac{e^{2}}{r} . \end{matrix}

Mozgási energiája a Heisenberg-féle

Δ x \cdot Δ p \geq ℏ

határozatlansági reláció miatt nem lehet nulla, hanem legalább

\begin{matrix} E_{mozg.} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{p^{2}}{2 m} \geq \frac{ℏ^{2}}{2 m {(Δ x)}^{2}} \approx \frac{ℏ^{2}}{2 m r^{2}}, \end{matrix}

ahol

p

az elektron impulzusa. (Ebben a meggondolásban az elektron helyének határozatlanságát ‐ nagyságrendi becslésként ‐ az atom sugarával közelítettük.)
Az atom teljes energiája a potenciális és a mozgási energia összege, vagyis

\begin{matrix} E (r) = - k \frac{e^{2}}{r} + \frac{ℏ^{2}}{2 m r^{2}} = - \frac{A}{r} + \frac{B}{r^{2}} = B {(\frac{1}{r} - \frac{A}{2 B})}^{2} - \frac{A^{2}}{4 B} \end{matrix}

alakú, ahol

A

és

B

az elektron adataival és univerzális konstansokkal kifejezhető állandók.
Az atom alapállapotát az

E (r)

függvény minimuma adja meg; ez nyilván az

\begin{matrix} r_{0} = \frac{2 B}{A} \sim \frac{1}{m} \end{matrix}

sugárnál van, és az energiaminimum értéke

\begin{matrix} E_{0} = - \frac{A^{2}}{4 B} \sim m . \end{matrix}

Ezen arányosságok és a hidrogénatom adatainak ismeretében a müonium méretét és kötési energiáját könnyen kiszámíthatjuk, és az I. megoldásban leírt eredményt kapjuk.

III. megoldás. A feladatot dimenzionális megfontolásokkal is megoldhatjuk. Az atom méretét és kötési energiáját meghatározó összefüggések az elektron tömegétől, a Coulomb-kölcsönhatás erősségét megadó

k e^{2}

kifejezéstől és a kvantumfizika alapmennyiségétől, a

h

Planck-állandótól függhetnek. Ezekből a dimenziós mennyiségekből csak úgy jöhet ki m, illetve J dimenzió, ha

\begin{matrix} r \sim \frac{h}{k m e^{2}}, illetve E \sim \frac{k^{2} e^{4} m}{h^{2}} . \end{matrix}

Ezekből az arányosságokból leolvashatjuk, hogy a müonium sugara a hidrogénatom sugarának 207-ed része, kötési energiája pedig (abszolút értékben) 207-szer nagyobb, mint a hidrogéné.