Feladat: 3908. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Szolnoki Lénárd ,  Tüzes Dániel 
Füzet: 2007/március, 179 - 181. oldal  PDF file
Témakör(ök): Stefan--Boltzmann-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/szeptember: 3908. fizika feladat

A napkohó egy óriási homorú gömbtükör, amelyet állandóan a Nap felé fordítanak. A tükör fókuszában helyezik el a felolvasztandó fémet.
Legfeljebb mekkora lehet a napkohó hőmérséklete a fókuszpontban?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A Nap képe nem tekinthető pontszerűnek, hanem véges mérete van, és ez a véges felületi teljesítménysűrűség korlátozza a napkohóban elérhető hőmérsékletet. A felmelegedő test maga is sugároz, és hőmérséklete addig növekszik, amíg a test által elnyelt sugárzás teljesítménye egyenlő nem lesz ugyanezen test által kisugárzott teljesítménnyel.
Mivel gömbtükörről van szó, a tükörre eső közel párhuzamos fénysugarak akkor jutnak el jó közelítéssel a fókuszpontba, ha a visszavert sugaraknak az optikai tengellyel bezárt α=R/f szöge kisebb, mint kb. 5 (lásd az 1. ábrát). Ekkor a R sugarú és 2f görbületi sugarú gömbtükör homlokfelülete A=R2π=f2πα2, (ahol α radiánban értendő), és az ide fókuszált összteljesítmény:

P=SA=Sf2πα2.
Itt S az egységnyi felületre jutó napsugárzási teljesítmény, az ún. napállandó, számértéke a légkörön kívül 1400 W/m2, a Föld felszínén ‐ a légkör állapotától függően ‐ ennél természetesen kisebb.
 

 
1. ábra
 

Igaz továbbá, hogy a Nap és a Föld dNF távolsága sokkal nagyobb, mint a tükör f fókusztávolsága, így az
1t+1k=1f
leképezési törvényből számolható képtávolság
k=tft-f=dNFfdNF-ff.
A valóságban RN sugarú (szerencsésebb szóhasználattal: rádiuszú) Nap képének sugara (mint az a tükör középpontjáról visszaverődő sugarak menetéből könnyen leolvasható)
r=fRNdNF,
a kép területe tehát
Akép=f2πRN2dNF2.

Feltesszük, hogy a tükör fókuszpontjához helyezett tárgy egy r sugarú gömb. Ha ennél nagyobb méretű a melegített test, akkor az nagyobb felületen fog sugározni, a hőmérséklete tehát kisebb lesz, mint az r sugarú gömbé. Ha viszont a Nap képénél is kisebbre választjuk a melegített test méretét, akkor a kisugárzott teljesítmény is és az elnyelt teljesítmény is ugyanolyan arányban lecsökken, a test felmelegedését ez nem befolyásolja.
A test T hőmérsékleten a Stefan‐Boltzmann-törvény szerint
Ple=σ4πr2T4
teljesítménnyel sugároz. Állandósult hőmérséklet esetén ez a teljesítmény meg kell egyezzék a tükörre eső, majd onnan a testre verődő és a test által felvett teljesítménnyel:
Pfel=S4f2πsin2α,
vagyis (Akép korábban kiszámított alakjának felhasználásával)
σf2πRN2dNF2T4=S4f2πα2.
Innen a test hőmérséklete ismert adatokkal kifejezhető:
T=Sα2dNF24σRN241300K.  (1)
(A test által felvett teljesítmény számításánál a környezet hőmérsékleti sugárzását nem vettük figyelembe, mert az a fókuszált napfény teljesítménye mellett elhanyagolhatóan kicsi. A melegített testet abszolút feketének tekintettük, de a megfontolásunk akkor is érvényes marad, ha a test a rá eső sugárzásnak csak bizonyos hányadát nyeli el, mert akkor ugyanilyen arányban a sugárzása is gyengébb lesz.)
Áttekinthetőbb formulát kapunk, ha az S napállandót ‐ ugyancsak a Stefan‐Boltzmann-törvény felhasználásával ‐ kifejezzük a (fekete testnek tekinthető) Nap hőmérsékletével és a látószögével. Mivel a Nap sugárzó felülete 4RN2π, és a sugárzása a Föld távolságában 4dNF2π nagyságú gömbfelületen oszlik szét, fennáll
S=σTNap44RN2π4dNF2π.
Ezt a melegített test hőmérsékletét megadó képletbe írva:
T=TNapα2=TNapR2f.(2)

Látható, hogy a napkohóban melegített test hőmérséklete nem lehet nagyobb, mint a Nap felszíni hőmérséklete (kb. 6000 K), hanem annál ‐ a tükör fényerejére jellemző R/f aránytól függő mértékben ‐ biztosan kisebb.
 
Megjegyzés. A (2) formulában a négyzetgyök alatt az R2f arányszám áll. Ez a gömbtükröknél természetesen 1-nél kisebb kell legyen, ellenkező esetben a tükör ,,nem fókuszálna'' megfelelően. Feltehetjük azonban a kérdést: mi történik akkor, ha gömbtükör helyett parabolatükröt alkalmazunk, melynek a Nap által megvilágított keresztmetszete (homlokfelülete) f2-hez viszonyítva (elvben) tetszőlegesen nagy lehet (2. ábra). Vajon egy ilyen elrendezéssel létre lehetne hozni a Nap felszínénél magasabb hőmérsékletet?
 

 
2. ábra
 

A melegítendő testre érkező és a test által kisugárzott teljesítmények összevetéséből megállapíthatjuk, hogy a melegített test hőmérséklete a Nap hőmérsékleténél annyiszor kisebb, amennyi a test helyéről nézve a tükör térszögének és a teljes 4π térszöghöz viszonyított arányának negyedik gyöke. Ez az arány természetesen 1-nél mindig kisebb, tehát ‐ optikai eszközökkel ‐ nem hozhatunk létre a Nap kb. 6000 K-es felszíni hőmérsékleténél magasabb hőmérsékletet a Földön. Ezen elvi korlát hátterében a termodinamika II. főtétele áll, nevezetesen az az észrevétel, hogy ha a tükör fókuszába helyezett test melegebb lenne, mint a Nap felszíne, akkor nem a Nap melegítené a testet, hanem a test a Napot! (A helyzet bonyolultabb ennél, mert a Nap + tükör + test rendszer nem zárt, nemcsak egymással, hanem a világűrrel is termikus kapcsolatban állnak, de a részletes számítás végkövetkeztetése is ugyanaz, mint az egyszerű megfontolásé.)