Kezdőlap


Feladat:	3908. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szolnoki Lénárd , Tüzes Dániel
Füzet:	2007/március, 179 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Stefan--Boltzmann-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/szeptember: 3908. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A Nap képe nem tekinthető pontszerűnek, hanem véges mérete van, és ez a véges felületi teljesítménysűrűség korlátozza a napkohóban elérhető hőmérsékletet. A felmelegedő test maga is sugároz, és hőmérséklete addig növekszik, amíg a test által elnyelt sugárzás teljesítménye egyenlő nem lesz ugyanezen test által kisugárzott teljesítménnyel.
Mivel gömbtükörről van szó, a tükörre eső közel párhuzamos fénysugarak akkor jutnak el jó közelítéssel a fókuszpontba, ha a visszavert sugaraknak az optikai tengellyel bezárt $α = R / f$ szöge kisebb, mint kb. $5^{\circ}$ (lásd az 1. ábrát). Ekkor a $R$ sugarú és $2 f$ görbületi sugarú gömbtükör homlokfelülete $A = R^{2} π = f^{2} π \cdot α^{2}$ , (ahol $α$ radiánban értendő), és az ide fókuszált összteljesítmény:

\begin{matrix} P = S \cdot A = S \cdot f^{2} π \cdot α^{2} . \end{matrix}

Itt

S

az egységnyi felületre jutó napsugárzási teljesítmény, az ún. napállandó, számértéke a légkörön kívül 1400 W/m

^{2}

, a Föld felszínén ‐ a légkör állapotától függően ‐ ennél természetesen kisebb.

1. ábra

Igaz továbbá, hogy a Nap és a Föld

d_{NF}

távolsága sokkal nagyobb, mint a tükör

f

fókusztávolsága, így az

\begin{matrix} \frac{1}{t} + \frac{1}{k} = \frac{1}{f} \end{matrix}

leképezési törvényből számolható képtávolság

\begin{matrix} k = \frac{t \cdot f}{t - f} = \frac{d_{NF} \cdot f}{d_{NF} - f} \approx f . \end{matrix}

A valóságban

R_{N}

sugarú (szerencsésebb szóhasználattal: rádiuszú) Nap képének sugara (mint az a tükör középpontjáról visszaverődő sugarak menetéből könnyen leolvasható)

\begin{matrix} r = f \cdot \frac{R_{N}}{d_{NF}}, \end{matrix}

a kép területe tehát

\begin{matrix} A_{kép} = f^{2} π \frac{R_{N}^{2}}{d_{NF}^{2}} . \end{matrix}

Feltesszük, hogy a tükör fókuszpontjához helyezett tárgy egy

r

sugarú gömb. Ha ennél nagyobb méretű a melegített test, akkor az nagyobb felületen fog sugározni, a hőmérséklete tehát kisebb lesz, mint az

r

sugarú gömbé. Ha viszont a Nap képénél is kisebbre választjuk a melegített test méretét, akkor a kisugárzott teljesítmény is és az elnyelt teljesítmény is ugyanolyan arányban lecsökken, a test felmelegedését ez nem befolyásolja.
A test

T

hőmérsékleten a Stefan‐Boltzmann-törvény szerint

\begin{matrix} P_{le} = σ \cdot 4 π r^{2} \cdot T^{4} \end{matrix}

teljesítménnyel sugároz. Állandósult hőmérséklet esetén ez a teljesítmény meg kell egyezzék a tükörre eső, majd onnan a testre verődő és a test által felvett teljesítménnyel:

\begin{matrix} P_{fel} = S \cdot 4 f^{2} π \cdot sin^{2} α, \end{matrix}

vagyis (

A_{kép}

korábban kiszámított alakjának felhasználásával)

\begin{matrix} σ f^{2} π \frac{R_{N}^{2}}{d_{NF}^{2}} T^{4} = S \cdot 4 f^{2} π \cdot α^{2} . \end{matrix}

Innen a test hőmérséklete ismert adatokkal kifejezhető:

\begin{matrix} T = \sqrt[4]{\frac{S α^{2} d_{NF}^{2}}{4 σ R_{N}^{2}}} \approx 1300 K. \end{matrix}

(1)

(A test által felvett teljesítmény számításánál a környezet hőmérsékleti sugárzását nem vettük figyelembe, mert az a fókuszált napfény teljesítménye mellett elhanyagolhatóan kicsi. A melegített testet abszolút feketének tekintettük, de a megfontolásunk akkor is érvényes marad, ha a test a rá eső sugárzásnak csak bizonyos hányadát nyeli el, mert akkor ugyanilyen arányban a sugárzása is gyengébb lesz.)
Áttekinthetőbb formulát kapunk, ha az

S

napállandót ‐ ugyancsak a Stefan‐Boltzmann-törvény felhasználásával ‐ kifejezzük a (fekete testnek tekinthető) Nap hőmérsékletével és a látószögével. Mivel a Nap sugárzó felülete

4 R_{N}^{2} π

, és a sugárzása a Föld távolságában

4 d_{NF}^{2} π

nagyságú gömbfelületen oszlik szét, fennáll

\begin{matrix} S = σ T_{Nap}^{4} \frac{4 R_{N}^{2} π}{4 d_{NF}^{2} π} . \end{matrix}

Ezt a melegített test hőmérsékletét megadó képletbe írva:

\begin{matrix} T = T_{Nap} \sqrt[]{\frac{α}{2}} = T_{Nap} \sqrt[]{\frac{R}{2 f}} . \end{matrix}

(2)

Látható, hogy a napkohóban melegített test hőmérséklete nem lehet nagyobb, mint a Nap felszíni hőmérséklete (kb. 6000 K), hanem annál ‐ a tükör fényerejére jellemző

R / f

aránytól függő mértékben ‐ biztosan kisebb.

Megjegyzés. A (2) formulában a négyzetgyök alatt az

\frac{R}{2 f}

arányszám áll. Ez a gömbtükröknél természetesen 1-nél kisebb kell legyen, ellenkező esetben a tükör ,,nem fókuszálna'' megfelelően. Feltehetjük azonban a kérdést: mi történik akkor, ha gömbtükör helyett parabolatükröt alkalmazunk, melynek a Nap által megvilágított keresztmetszete (homlokfelülete)

f^{2}

-hez viszonyítva (elvben) tetszőlegesen nagy lehet (2. ábra). Vajon egy ilyen elrendezéssel létre lehetne hozni a Nap felszínénél magasabb hőmérsékletet?

2. ábra

A melegítendő testre érkező és a test által kisugárzott teljesítmények összevetéséből megállapíthatjuk, hogy a melegített test hőmérséklete a Nap hőmérsékleténél annyiszor kisebb, amennyi a test helyéről nézve a tükör térszögének és a teljes

4 π

térszöghöz viszonyított arányának negyedik gyöke. Ez az arány természetesen 1-nél mindig kisebb, tehát ‐ optikai eszközökkel ‐ nem hozhatunk létre a Nap kb. 6000 K-es felszíni hőmérsékleténél magasabb hőmérsékletet a Földön. Ezen elvi korlát hátterében a termodinamika II. főtétele áll, nevezetesen az az észrevétel, hogy ha a tükör fókuszába helyezett test melegebb lenne, mint a Nap felszíne, akkor nem a Nap melegítené a testet, hanem a test a Napot! (A helyzet bonyolultabb ennél, mert a Nap + tükör + test rendszer nem zárt, nemcsak egymással, hanem a világűrrel is termikus kapcsolatban állnak, de a részletes számítás végkövetkeztetése is ugyanaz, mint az egyszerű megfontolásé.)