Feladat: 3894. fizika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Károlyi Márton ,  Lantos Klára ,  Vécsi Áron 
Füzet: 2007/február, 113 - 114. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/május: 3894. fizika feladat

Egy autó éppen a lakott területen megengedett 50km/h sebességgel haladt, amikor előtte hirtelen egy gyermek lépett az úttestre. Az autó vezetője rögtön fékezni kezdett, és szerencsére éppen az úttesten levő gyermek előtt állt meg. Mekkora sebességgel ütötte volna el az autó a gyermeket, ha kezdeti sebessége nem 50, hanem 70km/h lett volna?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az autóra ‐ a kerekek közvetítésével ‐ a talaj által kifejtett F súrlódási erő hat. Ha a v1=50 km/h kezdősebességű autó s úton áll meg, a munkatétel szerint fennáll

Fs=12mv12.(1)

A második esetben, amikor az autó kezdősebessége v2=70 km/h, a kerekeknél ható erő is és a gyerekig megtett út is ugyanakkora, mint az első esetben, tehát a végzett munka nagysága a korábbi Fs-sel egyezik meg. Ez a munka azonban nem nullára, hanem csak valamekkora v0>0-ra csökkenti az autó mozgási energiáját, s a munkatétel értelmében
Fs=12mv22-12mv02.(2)
A fenti két egyenlet összevetéséből
12mv12=12mv22-12mv02,
azaz
v0=v22-v12=702-502kmh49kmh.(3)

 
II. megoldás. Vizsgáljuk a kérdést a mozgások sebesség‐idő grafikonjai segítségével! Az első esetben az autó sebessége a kezdeti v1 értékről egyenletesen csökkenve valamekkora t1 idő múlva nullává válik, vagyis az autó megáll. Az autó által megtett út a v(t) függvény görbéje alatti terület, jelen esetben az OAB háromszög területe:
T=v1t12.(4)

 
 

A második esetben a sebesség v2 értékről indul, s ugyanolyan ütemben csökken (hiszen az autó lassulása ugyanakkora, mint az első esetben). Az autó valamekkora t2 idő alatt éri el a gyereket, ahol a sebessége v0 lesz, és ezalatt az OCDE trapéz területének megfelelő utat teszi meg. Ez az út ugyanakkora, mint az első esetben:
T=v2+v02t2.(5)
Az AB és CD egyenesek párhuzamosak, így
v1t1=v2-v0t2.(6)
A (4) és (5) egyenlet jobb oldalainak egyenlőségéből
v1t12=v2+v02t2,
majd (6) felhasználásából
v1t12=v2+v02v2-v0v1t1,azazv12=v22-v02
adódik, ahonnan v0=v22-v12=49kmh.
 
Megjegyzések. 1. Első pillanatra meglepőnek tűnhet, hogy a kezdősebesség 20 km/h-s növekedése a végsebességet majdnem 50 km/h-val növeli meg. A megoldás számítási menetéből látható, hogy nem a sebességek, hanem a sebesség-négyzetek (mozgási energiák) adódnak össze. Az ember érzékszervei sokkal inkább a sebességkülönbségeket ,,érzik'', mint a sebességek négyzetének különbségét (gondoljunk csak egy autópályán mellettünk elsuhanó másik autó látványára, vagy hangjára), s ez a ,,szervi hiányosságunk'' ‐ sajnos ‐ tragikus baleseteket eredményezhet.
2. A kerék és a talaj között fellépő tapadó súrlódási erő természetesen nem végez munkát, hiszen a kerékgumi és a talaj között nincs elmozdulás. A gépkocsi mozgási energiáját a fékeknél fellépő csúszó súrlódás csökkenti, ennek hatása azonban úgy számolható, mintha a gépkocsira egy külső erő hatna, s ennek (negatív) munkája csökkentené a mozgási energiát.