Kezdőlap


Feladat:	3894. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Károlyi Márton , Lantos Klára , Vécsi Áron
Füzet:	2007/február, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/május: 3894. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az autóra ‐ a kerekek közvetítésével ‐ a talaj által kifejtett $F$ súrlódási erő hat. Ha a $v_{1} = 50$ km/h kezdősebességű autó $s$ úton áll meg, a munkatétel szerint fennáll

\begin{matrix} F s = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} . \end{matrix}

(1)

A második esetben, amikor az autó kezdősebessége

v_{2} = 70

km/h, a kerekeknél ható erő is és a gyerekig megtett út is ugyanakkora, mint az első esetben, tehát a végzett munka nagysága a korábbi

F s

-sel egyezik meg. Ez a munka azonban nem nullára, hanem csak valamekkora

v_{0} > 0

-ra csökkenti az autó mozgási energiáját, s a munkatétel értelmében

\begin{matrix} F s = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} . \end{matrix}

(2)

A fenti két egyenlet összevetéséből

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} v_{0} = \sqrt[]{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}} = \sqrt[]{70^{2} - 50^{2}} \frac{km}{h} \approx 49 \frac{km}{h} . \end{matrix}

(3)

II. megoldás. Vizsgáljuk a kérdést a mozgások sebesség‐idő grafikonjai segítségével! Az első esetben az autó sebessége a kezdeti

v_{1}

értékről egyenletesen csökkenve valamekkora

t_{1}

idő múlva nullává válik, vagyis az autó megáll. Az autó által megtett út a

v (t)

függvény görbéje alatti terület, jelen esetben az

O A B

háromszög területe:

\begin{matrix} T = \frac{v_{1} t_{1}}{2} . \end{matrix}

(4)

A második esetben a sebesség

v_{2}

értékről indul, s ugyanolyan ütemben csökken (hiszen az autó lassulása ugyanakkora, mint az első esetben). Az autó valamekkora

t_{2}

idő alatt éri el a gyereket, ahol a sebessége

v_{0}

lesz, és ezalatt az

O C D E

trapéz területének megfelelő utat teszi meg. Ez az út ugyanakkora, mint az első esetben:

\begin{matrix} T = \frac{v_{2} + v_{0}}{2} t_{2} . \end{matrix}

(5)

A B

és

C D

egyenesek párhuzamosak, így

\begin{matrix} \frac{v_{1}}{t_{1}} = \frac{v_{2} - v_{0}}{t_{2}} . \end{matrix}

(6)

A (4) és (5) egyenlet jobb oldalainak egyenlőségéből

\begin{matrix} \frac{v_{1} t_{1}}{2} = \frac{v_{2} + v_{0}}{2} t_{2}, \end{matrix}

majd (6) felhasználásából

\begin{matrix} \frac{v_{1} t_{1}}{2} = \frac{v_{2} + v_{0}}{2} \cdot \frac{v_{2} - v_{0}}{v_{1}} t_{1}, azaz v_{1}^{2} = v_{2}^{2} - v_{0}^{2} \end{matrix}

adódik, ahonnan

v_{0} = \sqrt[]{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}} = 49 \frac{km}{h}

Megjegyzések. 1. Első pillanatra meglepőnek tűnhet, hogy a kezdősebesség 20 km/h-s növekedése a végsebességet majdnem 50 km/h-val növeli meg. A megoldás számítási menetéből látható, hogy nem a sebességek, hanem a sebesség-négyzetek (mozgási energiák) adódnak össze. Az ember érzékszervei sokkal inkább a sebességkülönbségeket ,,érzik'', mint a sebességek négyzetének különbségét (gondoljunk csak egy autópályán mellettünk elsuhanó másik autó látványára, vagy hangjára), s ez a ,,szervi hiányosságunk'' ‐ sajnos ‐ tragikus baleseteket eredményezhet.
2. A kerék és a talaj között fellépő tapadó súrlódási erő természetesen nem végez munkát, hiszen a kerékgumi és a talaj között nincs elmozdulás. A gépkocsi mozgási energiáját a fékeknél fellépő csúszó súrlódás csökkenti, ennek hatása azonban úgy számolható, mintha a gépkocsira egy külső erő hatna, s ennek (negatív) munkája csökkentené a mozgási energiát.