Feladat: 3887. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Horváth Tamás ,  Nagy Péter ,  Peregi Tamás ,  Varga Bonbien 
Füzet: 2007/február, 108 - 109. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/április: 3887. fizika feladat

Vízszintesen, v0=10m/s sebességgel elhajítunk egy testet. (A közegellenállás elhanyagolható.)
a) Mennyi idő múlva zár be a test sebességvektora az elmozdulásvektorral φ=15-os szöget?
b) Legfeljebb mekkora szöget zárhat be a sebesség- és az elmozdulásvektor?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) Vegyünk fel egy derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy a test kiindulási helye az origó legyen, az y tengely pedig függőlegesen lefelé álljon.

 
 

Ebben a koordináta-rendszerben a test elmozdulásvektora és a sebességvektora:
r=(v0t;g2t2),illetvev=(v0;gt).
Ennek a két vektornak a skalárszorzatát kifejezhetjük a vektorok nagyságával és a közbezárt szögük koszinuszával:
rv=|r||v|cosα,
ami a derékszögű koordinátákkal kifejezve:
rxvx+ryvy=rx2+ry2vx2+vy2cosα,
tehát
tv02+g22t3=v02t2+g24t4v02+g2t2cosα.
Innen algebrai átalakítások után a w=(gv0t)2 mennyiségre egy másodfokú egyenletet kapunk:
w2+(4-ctg2α)w+4=0,(1)
ami α=15 esetén numerikusan így néz ki:
w2-9,928w+4=0.
Ennek gyökei:
w1=0,42ésw2=9,51,
a kérdéses időpontok tehát
t1=v0gw10,66sést2=v0gw23,14s.

b) Az (1) egyenletből átrendezéssel kapjuk, hogy
ctg2α-4=w+4w.(2)
Alkalmazva a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenséget:
w+4w2w4w=4,
ahonnan (2)-ből
ctg2α8,tgα18,α19,5.(3)

Az α szögre vonatkozó egyenlőtlenséget úgy is megkaphatjuk, hogy megvizsgáljuk, mikor van az (1) egyenletnek w-re valós megoldása. A diszkrimináns nemnegatív volta éppen a (3) egyenlőtlenséggel egyenértékű feltétel.
Az α szög legnagyobb értékét differenciálszámítással is meg lehet határozni. Ha az α szöget (vagy annak valamilyen függvényét) kifejezzük a t idővel, és megkeressük ezen függvény deriváltjának zérushelyét, akkor a szög szélsőértékére a (3) egyenlőtlenség határesetét kapjuk.