Kezdőlap


Feladat:	3887. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horváth Tamás , Nagy Péter , Peregi Tamás , Varga Bonbien
Füzet:	2007/február, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/április: 3887. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Vegyünk fel egy derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy a test kiindulási helye az origó legyen, az $y$ tengely pedig függőlegesen lefelé álljon.

Ebben a koordináta-rendszerben a test elmozdulásvektora és a sebességvektora:

\begin{matrix} r = (v_{0} t; \frac{g}{2} t^{2}), illetve v = (v_{0}; g t) . \end{matrix}

Ennek a két vektornak a skalárszorzatát kifejezhetjük a vektorok nagyságával és a közbezárt szögük koszinuszával:

\begin{matrix} r \cdot v = | r | | v | \cdot cos α, \end{matrix}

ami a derékszögű koordinátákkal kifejezve:

\begin{matrix} r_{x} v_{x} + r_{y} v_{y} = \sqrt[]{r_{x}^{2} + r_{y}^{2}} \sqrt[]{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} \cdot cos α, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} t v_{0}^{2} + \frac{g^{2}}{2} t^{3} = \sqrt[]{v_{0}^{2} t^{2} + \frac{g^{2}}{4} t^{4}} \cdot \sqrt[]{v_{0}^{2} + g^{2} t^{2}} \cdot cos α . \end{matrix}

Innen algebrai átalakítások után a

w = {(\frac{g}{v_{0}} t)}^{2}

mennyiségre egy másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} w^{2} + (4 - ctg^{2} α) w + 4 = 0, \end{matrix}

(1)

ami

α = 15^{\circ}

esetén numerikusan így néz ki:

\begin{matrix} w^{2} - 9, 928 w + 4 = 0. \end{matrix}

Ennek gyökei:

\begin{matrix} w_{1} = 0, 42 és w_{2} = 9, 51, \end{matrix}

a kérdéses időpontok tehát

\begin{matrix} t_{1} = \frac{v_{0}}{g} \sqrt[]{w_{1}} \approx 0, 66 s és t_{2} = \frac{v_{0}}{g} \sqrt[]{w_{2}} \approx 3, 14 s . \end{matrix}

b)

Az (1) egyenletből átrendezéssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} ctg^{2} α - 4 = w + \frac{4}{w} . \end{matrix}

(2)

Alkalmazva a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} w + \frac{4}{w} \geq 2 \sqrt[]{w \cdot \frac{4}{w}} = 4, \end{matrix}

ahonnan (2)-ből

\begin{matrix} ctg^{2} α \geq 8, tg α \leq \frac{1}{\sqrt[]{8}}, α \leq 19, 5^{\circ} . \end{matrix}

(3)

α

szögre vonatkozó egyenlőtlenséget úgy is megkaphatjuk, hogy megvizsgáljuk, mikor van az (1) egyenletnek

w

-re valós megoldása. A diszkrimináns nemnegatív volta éppen a (3) egyenlőtlenséggel egyenértékű feltétel.
Az

α

szög legnagyobb értékét differenciálszámítással is meg lehet határozni. Ha az

α

szöget (vagy annak valamilyen függvényét) kifejezzük a

t

idővel, és megkeressük ezen függvény deriváltjának zérushelyét, akkor a szög szélsőértékére a (3) egyenlőtlenség határesetét kapjuk.