Feladat: 4196. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Neumer Tamás 
Füzet: 2010/április, 237 - 238. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Tökéletesen rugalmas ütközések, Hajítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: 4196. fizika feladat

2 méter magasról szabadon eső golyócska alá a vízszintessel 45-os szöget bezáró kemény lapot helyezünk, amelyen a golyócska tökéletesen rugalmasan ütközik.
 
 

Hová helyezzük a lapot, hogy
a) a golyócska vízszintesen megtett útja a talajba történő becsapódásig a legnagyobb legyen;
b) az elindulástól a becsapódásig eltelt idő a legnagyobb legyen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a h=2 m magasból szabadon eső golyócska x utat tesz meg a lapocskával történő ütközésééig, akkor az ütközésig eltelt idő

t1=2xg,
a sebessége pedig az ütközéskor v=2gx nagyságú. A tökéletesen rugalmas ütközés után a golyócska sebességének nagysága változatlan marad, a sebesség iránya pedig vízszintes lesz.
A mozgás második része vízszintes hajítás, amely felbontható egy vízszintes irányú, állandó v sebességű egyenletes mozgásra, illetve egy függőleges irányú, h-x magasságból történő szabadesésre. Ezen mozgás időtartama
t2=2(h-x)g,
a vízszintes irányú elmozdulás pedig
s(x)=vt2=2x(h-x).

a) A vízszintes irányú elmozdulás legnagyobb értékét az s(x) függvény maximuma adja meg. Ez nyilván annál az x értéknél lesz, amelynél a gyök alatti kifejezés a legnagyobb. Mivel az y=x(h-x) függvény képe egy ,,lefelé fordított'' parabola, amely x=0-nál és x=h-nál a nulla értéket veszi fel, a parabola tengelye (és ezzel együtt a függvény maximuma) x=h2=1 m-nél van. A golyócska tehát akkor csapódik a legmesszebb a talajba, ha a lapocskát 1 méter magasan helyezzük el.
b) A mozgás teljes ideje
T(x)=t1+t2=2g(x+h-x).
Ennek a kifejezésnek keressük a maximumát. Mivel pozitív mennyiségekről van szó, T legnagyobb értéke helyett kereshetjük a négyzetének legnagyobb értékét is:
T2(x)=2g(h+2x(h-x)).
Mivel g és h adott értékűek, a leghosszabb idejű mozgás megkeresése egyenértékű a négyzetgyök alatti x(h-x) függvény maximumának meghatározásával. Ez ‐ mint az
a) kérdésnél már beláttuk ‐ x=h2=1 m-nél van, tehát a középmagasságban elhelyezett lapocska nemcsak a legnagyobb vízszintes elmozdulást, de a leghosszabb idejű mozgást is eredményezi.