Kezdőlap


Feladat:	4196. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Neumer Tamás
Füzet:	2010/április, 237 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Tökéletesen rugalmas ütközések, Hajítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/november: 4196. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a $h = 2$ m magasból szabadon eső golyócska $x$ utat tesz meg a lapocskával történő ütközésééig, akkor az ütközésig eltelt idő

\begin{matrix} t_{1} = \sqrt[]{\frac{2 x}{g}}, \end{matrix}

a sebessége pedig az ütközéskor

v = \sqrt[]{2 g x}

nagyságú. A tökéletesen rugalmas ütközés után a golyócska sebességének nagysága változatlan marad, a sebesség iránya pedig vízszintes lesz.
A mozgás második része vízszintes hajítás, amely felbontható egy vízszintes irányú, állandó

v

sebességű egyenletes mozgásra, illetve egy függőleges irányú,

h - x

magasságból történő szabadesésre. Ezen mozgás időtartama

\begin{matrix} t_{2} = \sqrt[]{\frac{2 (h - x)}{g}}, \end{matrix}

a vízszintes irányú elmozdulás pedig

\begin{matrix} s (x) = v \cdot t_{2} = 2 \sqrt[]{x (h - x)} . \end{matrix}

a)

A vízszintes irányú elmozdulás legnagyobb értékét az

s (x)

függvény maximuma adja meg. Ez nyilván annál az

x

értéknél lesz, amelynél a gyök alatti kifejezés a legnagyobb. Mivel az

y = x (h - x)

függvény képe egy ,,lefelé fordított'' parabola, amely

x = 0

-nál és

x = h

-nál a nulla értéket veszi fel, a parabola tengelye (és ezzel együtt a függvény maximuma)

x = \frac{h}{2} = 1

m-nél van. A golyócska tehát akkor csapódik a legmesszebb a talajba, ha a lapocskát 1 méter magasan helyezzük el.

b)

A mozgás teljes ideje

\begin{matrix} T (x) = t_{1} + t_{2} = \sqrt[]{\frac{2}{g}} \cdot (\sqrt[]{x} + \sqrt[]{h - x}) . \end{matrix}

Ennek a kifejezésnek keressük a maximumát. Mivel pozitív mennyiségekről van szó,

T

legnagyobb értéke helyett kereshetjük a négyzetének legnagyobb értékét is:

\begin{matrix} T^{2} (x) = \frac{2}{g} \cdot (h + 2 \sqrt[]{x (h - x)}) . \end{matrix}

Mivel

g

és

h

adott értékűek, a leghosszabb idejű mozgás megkeresése egyenértékű a négyzetgyök alatti

x (h - x)

függvény maximumának meghatározásával. Ez ‐ mint az

a)

kérdésnél már beláttuk ‐

x = \frac{h}{2} = 1

m-nél van, tehát a középmagasságban elhelyezett lapocska nemcsak a legnagyobb vízszintes elmozdulást, de a leghosszabb idejű mozgást is eredményezi.