Feladat: B.4145 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Milánkovich Dorottya 
Füzet: 2010/február, 86. oldal  PDF file
Témakör(ök): Középpontos tükrözés, Trapézok, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/január: B.4145

Egy ABCD szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja legfeljebb kétszerese a rövidebbiknek. Vegyünk fel egy P pontot a trapéz belsejében. Igazoljuk, hogy létezik olyan négyszög, amelynek csúcsai a trapéz oldalaira esnek és oldalainak hosszúsága valamilyen sorrendben AP, BP, CP és DP.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen AB a hosszabbik alap. Húzzunk párhuzamost a P ponton keresztül a hozzá közelebbi AD szárral. Ennek a hosszabb alappal való metszéspontja legyen Q, a rövidebbel pedig S. Mivel AB2CD, azért S a CD szakasz egy pontja (esetleg SC). Az így kapott QBCS négyszög szintén szimmetrikus trapéz. Húzzunk párhuzamost a P ponton keresztül az alapokkal. Ennek a CB szárral vett metszéspontja legyen R.

 
 

Ekkor PRCS és QBRP szintén szimmetrikus trapéz, és így RQ=PB és RS=PC.
Tükrözzük a P pontot az AQSD paralelogramma szimmetriaközéppontjára, az így kapott pont legyen P'. A tükrözés miatt P'AD, QP'=DP és SP'=AP. Így a QRSP' négyszög oldalainak hosszúsága BP, CP, AP és DP és ezt kellett belátnunk.