Feladat: 4110. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Boros Csanád Örs ,  Farkas Márton ,  Iván Dávid ,  Laczkó Zoltán Balázs ,  Lászlóffy András ,  Lovas Lia Izabella ,  Maknics András ,  Mayer Martin János ,  Tamás Zsolt ,  Trényi Róbert 
Füzet: 2010/január, 42 - 47. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Közlekedőedény, Egyenletesen gyorsuló rendszerek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/november: 4110. fizika feladat

Az ábrán látható 1 cm2 keresztmetszetű U alakú cső vízszintes részének hossza 10 cm, függőleges szárai pedig kellően hosszúak. A csőbe először 20 cm3 vizet töltünk, majd a bal oldali ágba szintén 20 cm3 olajat. (ϱvíz=1000kgm3, ϱolaj=800kgm3). A rendszert balra gyorsítjuk a nagyságú gyorsulással. Határozzuk meg és ábrázoljuk grafikusan a víz szintje és az olaj szintje közötti különbséget a gyorsulás függvényében!
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Számoljuk ki először gyorsításmentes esetben a víz és az olaj elhelyezkedését! A kicsiny sűrűségkülönbség miatt feltételezhetjük, hogy a víz és az olaj elválasztó felülete az U alakú cső vízszintes részére esik, a függőleges szárakban pedig hv magasan víz, illetve ho magasan olaj található (1. ábra). Mivel a két folyadék teljes hossza 0,4 m, a vízszintes szakasz pedig (ha a hajlatok térfogatát elhanyagoljuk) 0,1 m hosszú, fennáll, hogy hv+ho=0,3 m, azaz

ho=0,3-hv.(1)
(Itt és a továbbiakban az SI mértékegységeket az egyszerűség kedvéért nem írjuk ki.)
 

 
1. ábra
 

Egyensúlyban a két függőleges szárban a hidrosztatikai nyomás megegyezik:
ϱogho=ϱvghv,
ahonnan (1) felhasználásával:
800(0,3-hv)=1000hv.
Ennek megoldásából (három tizedesjegy pontossággal számolva)
hv=0,133,ho=0,166,
a víz és az olaj szintkülönbségére (a levegővel érintkező folyadékfelszínek magasságkülönbségére) pedig
Δh0=hv-ho=-0,033m,  
vagyis kb. 3,3 cm adódik. (A nullás index a gyorsításmentes esetre utal, a negatív előjel pedig azt fejezi ki, hogy ebben az esetben az olaj áll magasabban.) A vízszintes csőszárban
lo=0,2-ho=0,033
hosszan olaj,
lv=0,2-hv=0,067
méternyi darabon pedig víz található.
A rendszer gyorsítása során a jobb oldali ágban a víz megemelkedik valamekkora y értékkel, a bal oldali ágban pedig az olaj lesüllyed (vagy akár el is tűnhet ebből a szárból). Emiatt a vízszintes csőszakasz jobb oldali végénél nagyobb, a bal oldali végénél pedig kisebb lesz a nyomás, mint a fentebb számolt egyensúlyi esetben. A nyomáskülönbségből számolható eredő vízszintes erő hozza létre a vízszintes csőszárban levő folyadék gyorsulását. A továbbiakban három esetet kell megkülönböztessünk.
1. Nem túl nagy gyorsulásnál a folyadékszintek csak kicsit változnak meg, az olaj részben a bal oldali függőleges szárban, részben a vízszintes csőszár egyik darabjában helyezkedik el (2. ábra). Ez 0<y<0,067 vízszintemelkedések esetén teljesül.
 

 
2. ábra
 

2. Közepesen nagy gyorsulásoknál már a jobb oldali függőleges szárba is kerül olaj, de a bal oldali függőleges szár még nem ürül ki teljesen (3. ábra). Ennek feltétele: 0,067<y<0,167.
 

 
3. ábra
 

3. Nagyon nagy gyorsulásoknál már csak a vízszintes csőszár egy részében és a jobb oldali függőleges szárban található olaj, a bal oldali függőleges szár teljesen kiürül (4. ábra). Ez az eset akkor áll fenn, ha 0,167<y<0,267.
 

 
4. ábra
 

Határozzuk meg a szintkülönbségeket a vízszintes folyadékszakaszra felírt mozgásegyenlet felhasználásával! Az 1. esetben a jobb oldali függőleges csőszár alján ϱvgy-nal megnő, a bal oldali szár alján pedig ϱogy értékkel lecsökken a nyomás a gyorsításmentes (egyensúlyi) helyzethez képest. Ez a két nyomásváltozás együttesen
F=(ϱv+ϱv)gyA
erőt eredményez a vízszintes folyadékra (A a cső keresztmetszete). A mozgásegyenlet:
(ϱo+ϱv)gyA=A[ϱo(lo+y)+ϱv(lv-y)]a.
Ez (az ismert és kiszámított adatok behelyettesítése után)
1,8y=[0,8(0,033+y)+0,067-y]ag
alakra hozható, s ebből a Δh=2y+Δh0 szintkülönbség kiszámítható:
Δh=0,33ag-1ag+9.(2)
A fenti képlet érvényességének feltétele 0<y<0,067; ez pedig
0<ag<1,5(2a)
esetén teljesül.
A 2. esetben (lásd a 3. ábrát) a vízszintes csődarabban levő 0,1800A tömegű olajat a jobb oldali szárban levő 0,2 m magas vízoszlop és a hv+y-0,2 magasságú olaj nyomása, valamint a bal oldali szárban levő ho-y magas olaj nyomásának különbsége gyorsítja:
0,1800Aa=[0,21000+800(hv+y-0,2)-800(ho-y)]gA.
Ebből y=0,05ag-0,0083, illetve
Δh=0,05ag-0,05(3)
adódik. A fenti képlet akkor érvényes, ha 0,067<y<0,167, ez pedig
1,5<ag<3,5(3a)
gyorsulások esetén teljesül.
Végül vizsgáljuk meg a 4. ábrának megfelelő lehetőséget! A szintkülönbség most éppen a jobb oldali folyadékoszlop magassága: Δh=hv+y, melyből 0,2 méternyi a víz, a többi Δh-0,2 pedig olaj. A vízszintes csődarabban levő olaj hossza nyilván 0,4-Δh, így a mozgásegyenlet:
[0,21000+(Δh-0,2)800]gA=800A(0,4-Δh)a,
amelyből a szintkülönbség kifejezhető:
Δh=0,4ag-0,051+ag.(4)
A fenti összefüggés érvényességi köre (3a) felső határától tetszőlegesen nagy gyorsulásokig terjed, vagyis
3,5<ag<.(4a)

Eredményeinket az 5. ábrán látható grafikon foglalja össze, mely a (2), (3), (4) képletek felhasználásával és a (2a), (3a), (4a) feltételek figyelembe vételével rajzolható meg. A grafikon egy hiperbola-ívből, egy egyenes szakaszból és egy másik hiperbola-ívből áll. Ezek a görbék folytonosan csatlakoznak egymáshoz, de a csatlakozási pontban a meredekségük ugrásszerűen megváltozik.
 

 
5. ábra
 

 
II. megoldás. Írjuk le a jelenséget az U alakú csővel együttmozgó, balra gyorsuló koordináta-rendszerből! Ebben a vonatkoztatási rendszerben a függőleges mg gravitációs erő mellett minden testre hat még egy vízszintes, jobbra mutató, ma nagyságú ,,tehetetlenségi erő'' is. Ezen két erő eredője éppen olyan, mintha a gravitációs gyorsulás
g*=g2+a2
nagyságú lenne, és az iránya a valódi függőlegessel α szöget zárna be (6. ábra), ahol
tgα=ag.(5)

 

 
6. ábra
 

Határozzuk meg a csőben levő folyadékok egyensúlyi helyzetét abban az esetben, amikor az olaj és a víz határfelülete az U alakú cső alsó, összekötő szakaszára esik. Írjuk fel a hidrosztatikai nyomások egyensúlyi feltételét mondjuk a 7. ábrán látható O pontra!
 

 
7. ábra
 

Az ábra jelöléseit használva (és a hosszúságokat méterben mérve, de az SI mértékegységeket az egyszerűség kedvéért lehagyva) mondhatjuk:
ϱvg*(0,1+x)cosα=ϱvg*(0,1-x)sinα++ϱog*xsinα+ϱog*(0,2-x)cosα.


A sűrűségadatok behelyettesítése és cosα-val való osztás után kapjuk:
0,1+x=(0,1-x)tgα+0,8xtgα+0,8(0,2-x).
Ebből (5) felhasználásával az alsó szárban levő olaj hosszára
x=0,3+0,5agag+9,
a folyadékok szintkülönbségére
Δh=(0,1+x)-(0,2-x)=0,9ag-0,3ag+9
adódik, összhangban az I. megoldás (2) képletével. Ez az összefüggés csak addig érvényes, amíg x<0,1 (vagyis amíg az olaj még nem folyik át a jobb oldali csőszárba); ez pedig ag<1,5-re teljesül; egyezően az I. megoldás (2a) feltételével.
Hasonló gondolatmenettel kapjuk meg a (3) és (4) összefüggéseket és (3a), (4a) feltételeket is.
 
Megjegyzés. A megoldás során feltételeztük, hogy a cső keresztmeszete elegendően kicsi ahhoz, hogy az olajat és a vizet ,,folyadékszál'' alakban tartsa, ne engedje összekeveredni azokat. Ez azonban csak kapillárisokra igaz, az 1 cm2-es cső pedig nem tekinthető annak. A valóságban az olaj átfolyhat a víz felett a vízszintes csőben, tehát a folyamat a fentebb leírtaktól eltérő módon megy végbe. Ha a megadottnál kisebb keresztmetszetű csövet választunk (a keresztmetszet a számolásból kiesett), akkor érvényesnek vélhetjük a fenti megoldásokat. Sajnos a helyzet még ekkor sem egyszerű! Az olaj átfolyását a kapillaritás akkor akadályozhatja meg, ha a folyadékfelszíneken és a határfelületen a görbületi nyomás összemérhető a hidrosztatikai nyomásokkal; ekkor pedig a kapilláris jelenségeket is figyelembe kellene vegyük a megoldásban.