Kezdőlap


Feladat:	C.949	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Marton Kata
Füzet:	2009/december, 520 - 521. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Hasonlósági transzformációk, Háromszög területe, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: C.949

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A háromszög oldalai $A B = c$ , $A C = B C = a$ , a beírt kör középpontja $O$ , sugara $r$ . A kör középpontja rajta van az $F C$ magasságvonalon, és mivel a súlypont illeszkedik a körre, $F S = 2 r$ és $F C = m = 6 r$ . Írjuk fel a háromszög területét kétféleképpen:

\begin{matrix} T = \frac{c m}{2} = \frac{r (2 a + c)}{2} . \end{matrix}

Rendezzük az egyenletet:

c \cdot 6 r = r (2 a + c)

és innen

\begin{matrix} a = \frac{5}{2} c . \end{matrix}

(1)

Nem használtuk még fel a megadott

\sqrt[]{6}

értéket. A kör

O

középpontjából és az

A

pontból állítsunk merőlegeseket a

B C

oldalra, talppontjuk legyen

P

és

T

. Az

A T

egyenes nyilván átmegy az

M

ponton, mert a

B C

oldalhoz tartozó magasságvonal. Az

O P C

derékszögű háromszögből:

\begin{matrix} C P = \sqrt[]{{(5 r)}^{2} - r^{2}} = 2 r \sqrt[]{6} . \end{matrix}

A F M

háromszög hasonló a

C O P

háromszöghöz (két szögük egyenlő), így megfelelő oldalaik aránya megegyezik:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{6}}{\frac{c}{2}} = \frac{r}{2 r \sqrt[]{6}}, \end{matrix}

innen

c = 24

, és (1)-ből

a = 60