Feladat: C.949 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Marton Kata 
Füzet: 2009/december, 520 - 521. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Hasonlósági transzformációk, Háromszög területe, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/május: C.949

Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapjának felezőpontja F, magasságpontja M. Tudjuk, hogy a háromszög súlypontja illeszkedik a beírt körre, és hogy FM=6. Mekkorák a háromszög oldalai?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A háromszög oldalai AB=c, AC=BC=a, a beírt kör középpontja O, sugara r. A kör középpontja rajta van az FC magasságvonalon, és mivel a súlypont illeszkedik a körre, FS=2r és FC=m=6r. Írjuk fel a háromszög területét kétféleképpen:

T=cm2=r(2a+c)2.
Rendezzük az egyenletet: c6r=r(2a+c) és innen
a=52c.(1)

 
 

Nem használtuk még fel a megadott 6 értéket. A kör O középpontjából és az A pontból állítsunk merőlegeseket a BC oldalra, talppontjuk legyen P és T. Az AT egyenes nyilván átmegy az M ponton, mert a BC oldalhoz tartozó magasságvonal. Az OPC derékszögű háromszögből:
CP=(5r)2-r2=2r6.

Az AFM háromszög hasonló a COP háromszöghöz (két szögük egyenlő), így megfelelő oldalaik aránya megegyezik:
6c2=r2r6,
innen c=24, és (1)-ből a=60.