Feladat: 2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2009/november, 495 - 498. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Doppler-hatás (Doppler-effektus), Gerjesztés sugárzással (abszorpció), Indukált emisszió (lézerhatás)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/október: 2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

2. feladat. Lézeres Doppler-hűtés és optikai szirupok
 
Ennek a feladatnak az a célja, hogy egyszerű elméleti megfontolással megértsed a ,,lézeres hűtés'' és az ,,optikai szirup'' jelenségeket. Ez azt jelenti, hogy semleges atomok (általában alkáli fémek) nyalábját egymással szemben haladó, azonos frekvenciájú lézersugarakkal hűtjük. Ezért kapott 1997-ben fizikai Nobel-díjat S. Chu, P. Phillips és C. Cohen-Tannoudji.
A hátsó belső borító jobb felső képe nátrium atomokat ábrázol (a fényes pont középen), melyek három, egymásra merőleges lézersugár-pár kereszteződésében vannak csapdázva. A csapda területét szokás ,,optikai szirup''-nak (,,optical molasses'') nevezni, mivel a disszipatív optikai erő a szirupon áthaladó testekre ható viszkózus erőre emlékeztet.
Ebben a feladatban egy foton és egy atom egyszerű kölcsönhatását és a disszipációs mechanizmust fogod vizsgálni egy dimenzióban.
 
I. rész: A lézeres hűtés alapjai
Tekints egy m tömegű atomot, amely a +x irányban, v sebességgel mozog. Az egyszerűség kedvéért vizsgáld a problémát egy dimenzióban, azaz ne foglalkozz az y és z irányokkal (4. ábra). Az atomnak két belső energiaszintje van. Az alapállapot energiáját nullának tekintjük, a gerjesztett állapot energiája pedig ω0, ahol =h/2π. Az atom kezdetben alapállapotban van. Egy lézersugár, melynek a laboratórium koordináta-rendszerében mért körfrekvenciája ωL, a -x irányban halad, és ütközik egy atommal. Kvantummechanikai szempontból a lézersugár nagyszámú egyforma fotonból áll, melyek energiája ωL és impulzusa -q. A fotont elnyelheti egy atom, amely azt később spontán kibocsátja; ez a kibocsátás (emisszió) azonos valószínűséggel történhet a +x és a -x irányban. Mivel az atom nemrelativisztukus sebességgel mozog, v/c1 (ahol c a fénysebesség). Vedd figyelembe azt is, hogy q/mv1, azaz az atom impulzusa sokkal nagyobb egy foton impulzusánál. A válaszaidban mindkét mennyiségnek csak az elsőrendű (lineáris) tagjait vedd figyelembe.
 
 

4. ábra. Egy m tömegű, v sebességű, a +x irányban haladó atom, amely egy ωL energiájú és -q impulzusú fotonnal ütközik. Az atomnak két belső állapota van ω0 energiakülönbséggel
 

Feltételezd, hogy a lézer ωL körfrekvenciája úgy van hangolva, hogy a mozgó atom rendszeréből nézve rezonanciában van az atom belső átmenetével. Válaszolj a következő kérdésekre:
 
1. Elnyelés (abszorpció)
1.a. Add meg a foton elnyelésének (abszorpciójának) rezonanciafeltételét!
1.b. Add meg az atom pa impulzusát az elnyelés után, a laboratórium rendszeréből nézve!
1.c. Add meg az atom εa teljes energiáját az elnyelés után, a laboratórium rendszeréből nézve!
 
2. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a -x irányban
Az ütköző foton elnyelődése (abszorbciója) után valamennyi idővel az atom egy fotont bocsáthat ki (emittálhat) a -x irányban.
2.a. Add meg a kibocsátott foton εf energiáját a -x irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
2.b. Add meg a kibocsátott foton pf impulzusát a -x irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
2.c. Add meg az atom pa impulzusát a -x irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
2.d. Add meg az atom εa teljes energiáját a -x irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
 
3. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a +x irányban
Az ütköző foton elnyelődése (abszorbciója) után valamennyi idővel az atom egy fotont bocsáthat ki (emittálhat) a +x irányban.
3.a. Add meg a kibocsátott foton εf energiáját a +x irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
3.b. Add meg a kibocsátott foton pf impulzusát a +x irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
3.c. Add meg az atom pa impulzusát a +x irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
3.d. Add meg az atom εa teljes energiáját a +x irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
 
4. Átlagos kibocsátás (emisszió) az elnyelés (abszorpció) után
A foton spontán kibocsátása egyforma valószínűséggel történhet a -x vagy a +x irányban. Ezt figyelembe véve válaszolj a következő kérdésekre:
4.a. Add meg a kibocsátott foton εf átlagos energiáját az emissziós folyamat után!
4.b. Add meg a kibocsátott foton pf átlagos impulzusát az emissziós folyamat után!
4.c. Add meg az atom εa átlagos teljes energiáját az emissziós folyamat után!
4.d. Add meg az atom pa átlagos impulzusát az emissziós folyamat után!
 
5. Energia- és impulzusátadás
Tekints egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási (abszorpciós-emissziós) folyamatot, ahogy azt az eddigiekben tárgyaltuk. A lézersugár és az atom között egy eredő átlagos impulzus- és energiaátadás figyelhető meg.
5.a. Add meg az atom Δε átlagos energiaváltozását egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási folyamat után!
5.b. Add meg az atom Δp átlagos impulzusváltozását egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási folyamat után!
 
6. Energia- és impulzusátadás egy +x irányú lézersugárral
Tekints most egy olyan lézersugarat, amelynek ω'L a körfrekvenciája és a +x irányban halad, miközben az atom szintén a +x irányban halad v sebességgel. Azt feltételezve, hogy az atom belső átmenete és a lézersugár között az atom rendszeréből nézve teljesül a rezonanciafeltétel, válaszolja következő kérdésekre:
6.a. Add meg az atom Δε átlagos energiaváltozását egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási folyamat után!
6.b. Add meg az atom Δp átlagos impulzusváltozását egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási folyamat után!
 
II. rész: Disszipáció és az optikai szirup alapjai
A természetben a kvantumfolyamatokat elkerülhetetlenül bizonytalanság kíséri. Így az a tény, hogy az atom az elnyelés után véges idővel bocsát ki egy fotont, azzal a következménnyel jár, hogy a rezonanciafeltétel nem teljesül egzaktul, úgy ahogy azt eddig tárgyaltuk. Azaz a lézersugár ωL és ω'L körfrekvenciája bármilyen értéket felvehet, és az elnyelés (abszorpció) mégis bekövetkezhet. Az elnyelés különböző (kvantum)valószínűséggel történik, és ‐ mint ahogy azt sejteni lehet ‐ a legnagyobb valószínűséggel éppen a rezonanciafeltétel egzakt teljesülésekor. Egy foton elnyelése és kibocsátása között átlagosan eltelő időt a gerjesztett állapot élettartamának nevezzük, és így jelöljük: Γ-1.
Tekintsünk egy N atomból álló, a laboratórium koordinátarendszeréhez viszonyítva nyugalomban lévő atomhalmazt, és egy rá eső ωL körfrekvenciájú lézersugarat. Az atomok folyamatosan fotonokat nyelnek el és bocsátanak ki, úgy, hogy átlagosan Ng atom van gerjesztett állapotban (és így N-Ng atom alapállapotban). Kvantummechanikai számítás eredményeként adódik, hogy:
Ng=NΩR2(ω0-ωL)2+Γ24+2ΩR2,
ahol ω0 az atomi átmenet rezonancia-körfrekvenciája, és ΩR az úgynevezett Rabi-frekvencia; ΩR2 arányos a lézersugár intenzitásával. Láthatod, hogy ez az érték ‐ ahogy már említettük ‐ akkor is különbözik nullától, ha ω0 nem egyezik meg a lézersugár ωL körfrekvenciájával. Az előbbi eredményt úgy is kifejezhetjük, hogy időegységenként bekövetkező elnyelési-kibocsátási (abszorpciós-emissziós) folyamatok száma NgΓ.
Tekintsd az 5. ábrán látható fizikai elrendezést, ahol két szemben haladó lézersugár egymással azonos, de amúgy tetszőleges ωL körfrekvenciával ütközik az N atomból álló, +x irányban v sebességgel mozgó gáznak.
 
 

5. ábra. Két szemben haladó lézersugár egymással azonos, de amúgy tetszőleges ωL körfrekvenciával ütközik az N atomból álló, +x irányban v sebességgel mozgó gáznak

 
7. A lézer által az atomnyalábra kifejtett erő
7.a. Az eddigi információk alapján határozd meg azt az erőt, amit a lézersugár kifejt az atomnyalábra! Használd ki, hogy mvq.
8. Kissebességű határeset. Most tételezd fel, hogy az atomok sebessége elég kicsi ahhoz, hogy az erő a v sebesség első rendű tagjával közelíthető.
8.a. Határozd meg a 7.a. feladatban meghatározott erő kifejezését ebben a közelítésben!
Felhasználva ezt az eredményt megkeresheted annak a feltételét, hogy a lézersugár az atomnyalábot gyorsítja, lassítja, illetve nem hat rá.
8.b. Add meg annak a feltételét, hogy az erő pozitív (gyorsítja az atomokat)!
8.c. Add meg annak a feltételét, hogy az erő nulla!
8.d. Add meg annak a feltételét, hogy az erő negatív (lassítja az atomokat)!
8.e. Most tedd fel, hogy az atomok -v sebességgel mozognak (a -x irányban). Add meg annak a feltételét, hogy az erő lassítsa az atomokat!
9. Optikai szirup. Negatív erő esetében egy disszipatív súrlódó erőt kapunk. Tedd fel, hogy kezdetben, amikor t=0, a gáz atomjai v0 sebességgel mozognak.
9.a. Kissebességes közelítésben határozd meg az atomok sebességét azután, hogy a lézersugarak τ ideje be vannak kapcsolva.
9.b. Most tételezd fel, hogy a gáz atomjai kezdetben T0 hőmérsékleten termikus egyensúlyban vannak. Határozd meg a T hőmérsékletet azután, hogy a lézersugarak τ ideje be vannak kapcsolva.
(A modell azonban nem teszi lehetővé tetszőlegesen kicsi hőmérséklet elérését.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ennek a feladatnak a megoldásában kulcsszerepet játszik a relativisztikus, longitudinális Doppler-effektus. Ha az ω körfrekvenciájú fényt kibocsátó fényforrás a megfigyelőhöz képest v relatív sebességgel mozog, akkor a megfigyelő által észlelt ω' körfrekvencia

ω'=ω1±vc1vcω(1±vc),(8)
ahol c a fénysebesség, és a második, közelítő egyenlőség akkor igaz, ha vc1. A felső előjelezés akkor érvényes, ha a fényforrás és a megfigyelő közelednek egymáshoz, az alsó pedig akkor, ha távolodnak. (A közelítés az ε1 esetén érvényes (1+ε)a1+aε formula többszöri alkalmazásával kapható meg.)
Jelölje ωL a lézer laboratóriumban mért körfrekvenciáját, legyen ω0 az atom két állapota közti energiakülönbség. Ekkor a -x tengely irányába haladó foton energiája ωL, impulzusa -ωLc=-q, ahol q a hullámszám.
A feladatmegoldás során végig feltételezzük, hogy vc1, valamint
qmv=ωLmvc1,
és ezen kis mennyiségekben első rendig számolunk.
 
I. rész: A lézeres hűtés alapjai
1. Elnyelés (abszorpció)
A (8) egyenlet alapján a fényforráshoz v sebességgel közeledő atom által észlelt frekvencia ωL(1+vc), tehát a rezonanciafeltétel ω0=ωL(1+vc). A foton elnyelése után az atom impulzusa a foton impulzusával csökken, így pa=mv-ωLc. Az atom teljes energiája a mozgási energiájának és a gerjesztési energiának az összege, azaz
εa=pa22m+ω0mv22+ωL.

 
2. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a -x irányban
A v'=v-ωLvc sebességgel mozgó atom saját rendszerében ω0 frekvenciájú fotont bocsát ki, ami azt jelenti, hogy a labor rendszeréből a foton frekvenciája
ω0(1-v'c)=ω0(1-vc+ωLmvcvc)ω0(1-vc)ωL.(9)
Innen a foton energiája és impulzusa egyszerűen kiszámolható:
pf--ωLc,εf-ωL.(10a)
A foton kibocsátása után az atom impulzusa ezzel az értékkel nő, így
pa-mv,εa-=(pa-)22mmv22.(10b)
Végeredményben az abszorpciós-emissziós folyamat után a két részecske állapota olyan, mintha a foton nem is lépett volna kölcsönhatásba az atommal.
 
3. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a +x irányban
Ha az atom +x irányban bocsátja ki a fotont, akkor labor rendszerében nagyobbnak észleljük a foton frekvenciáját. Az előző (9) levezetéshez hasonlóan kell számolnunk, azonban v' előjele módosul:
ω0(1+v'c)ω0(1+vc)ωL(1+2vc).
Ezután már könnyen megkapjuk a foton, illetve az atom energiáját és impulzusát:
pf+ωLc(1+2vc),εf+ωL(1+2vc),(11a)pa+mv-2ωLc,εa+mv22(1-4ωLmvc).(11b)

 
4. Átlagos kibocsátás (emisszió) az elnyelés (abszorpció) után
Minthogy a spontán emisszió egyforma valószínűséggel mehet végbe +x és -x irányban, a keresett átlagértékek a (10) és (11) mennyiségek számtani közepeiként kaphatók meg:
p¯fωLvc20,ε¯fωL(1+vc),(12a)p¯amv-ωLc,ε¯amv22(1-2ωLmvc).(12b)

 
5. Energia- és impulzusátadás
A -x irányban haladó foton által az atomnak átlagosan átadott impulzus és energia a kölcsönhatás utáni (12) átlagértékek és a kezdeti értékek különbségeként kapható meg:
Δp-=p¯a-mv-ωLc,Δε-=ε¯a-mv22-ωLvc.(13)

 
6. Energia- és impulzusátadás egy +x irányú lézersugárral
Ha a foton nem szemből, hanem az atommal azonos irányból érkezik, teljesen hasonló módon ellentétes előjelű eredményeket kapunk az átlagos energia- és impulzusátadásra:
Δp+ω'Lc,Δε+ω'Lvc.(14)

 
II. rész: Disszipáció és az optikai szirup alapjai
A feladat közlése szerint a laboratóriumban nyugalomban levő atomok
Pg(ωL)=NgN=ΩR2(ω0-ωL)2+Γ24+2ΩR2.(15)
valószínűséggel találhatók gerjesztett állapotban az ωL frekvenciájú fotonokkal való kölcsönhatás eredményeként. A képletben ΩR az úgynevezett Rabi-frekvencia, melynek négyzete a lézer intenzitásával arányos, Γ pedig az adott átmenet élettartamának reciproka. Látható, hogy ez a valószínűség ωL=ω0 esetén maximális, nem haladja meg az 12 értéket, és |ωL-ω0|Γ,ΩR esetén gyorsan csökken.
 
7. A lézer által az atomnyalábra kifejtett erő
A (15) képlet nyugalomban levő atomokra vonatkozik, tehát csak úgy használhatjuk, ha áttérünk az atomokkal együtt v sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszerbe. Ekkor azonban Doppler-eltolódás miatt a -x irányban haladó fotonok frekvenciáját ω-=ωL(1+vc)-nek, míg a +x irányban haladókét ω+=ωL(1-vc)-nek észleljük. Mindkét fotonnyaláb egymástól függetlenül gerjeszti az atomok Ng=NPg részét, így időegységenként ΓNg elnyelési‐kibocsátási folyamat megy végbe a balra, illetve jobbra haladó fotonokkal. Felhasználva a (13) és (14) eredményeket, a keresett erő:
F=ΓN(Pg(ω-)Δp-+Pg(ω+)Δp+)==ΩR2NΓωLc(ω0-ωL(1-vc))2+Γ24+2ΩR2-ΩR2NΓωLc(ω0-ωL(1+vc))2+Γ24+2ΩR2.

 
8. Kissebességű határeset
Az erőre kapott formula
F=AB+C-AB-CAB(1-CB-(1+CB))=-2ACB2
alakú, ahol CB. A számolást elvégezve azt kapjuk, hogy
F-4ΩR2NΓ(ωLc)2((ω0-ωL)2+Γ24+2ΩR2)2(ω0-ωL)v.(16)
Látható, hogy az erő pozitív (gyorsító), ha ωL>ω0, zérus, ha ωL=ω0, és negatív (lassító), ha ωL<ω0. Természetesen a jelenség független az x tengely irányításától, tehát ha a lézer frekvenciáját kicsit az átmenet ,,alá hangoljuk'', akkor mindig az atom mozgásával ellentétes irányú a fotonok által kifejtett erő.
 
9. Optikai szirup
Ha az atomokra sebességükkel arányos fékezőerő hat, akkor mozgásegyenletük mv˙=-βv, ahol a β>0 konstans a (16) egyenletből kiolvasható. Figyelembevéve a v(0)=v0 kezdeti feltételt, az atomok sebessége a
v(τ)=v0e-βmτ
függvény szerint csökken. Az ekvipartíció-tétel értelmében Tv2, tehát a hőmérséklet T(τ)=T0e-2βmτ időfüggést mutat.