Kezdőlap


Feladat:	2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2009/november, 495 - 498. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Doppler-hatás (Doppler-effektus), Gerjesztés sugárzással (abszorpció), Indukált emisszió (lézerhatás)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: 2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

2. feladat. Lézeres Doppler-hűtés és optikai szirupok

Ennek a feladatnak az a célja, hogy egyszerű elméleti megfontolással megértsed a ,,lézeres hűtés'' és az ,,optikai szirup'' jelenségeket. Ez azt jelenti, hogy semleges atomok (általában alkáli fémek) nyalábját egymással szemben haladó, azonos frekvenciájú lézersugarakkal hűtjük. Ezért kapott 1997-ben fizikai Nobel-díjat S. Chu, P. Phillips és C. Cohen-Tannoudji.
A hátsó belső borító jobb felső képe nátrium atomokat ábrázol (a fényes pont középen), melyek három, egymásra merőleges lézersugár-pár kereszteződésében vannak csapdázva. A csapda területét szokás ,,optikai szirup''-nak (,,optical molasses'') nevezni, mivel a disszipatív optikai erő a szirupon áthaladó testekre ható viszkózus erőre emlékeztet.
Ebben a feladatban egy foton és egy atom egyszerű kölcsönhatását és a disszipációs mechanizmust fogod vizsgálni egy dimenzióban.

I. rész: A lézeres hűtés alapjai
Tekints egy

m

tömegű atomot, amely a

+ x

irányban,

v

sebességgel mozog. Az egyszerűség kedvéért vizsgáld a problémát egy dimenzióban, azaz ne foglalkozz az

y

és

z

irányokkal (4. ábra). Az atomnak két belső energiaszintje van. Az alapállapot energiáját nullának tekintjük, a gerjesztett állapot energiája pedig

ℏ ω_{0}

, ahol

ℏ = h / 2 π

. Az atom kezdetben alapállapotban van. Egy lézersugár, melynek a laboratórium koordináta-rendszerében mért körfrekvenciája

ω_{L}

, a

- x

irányban halad, és ütközik egy atommal. Kvantummechanikai szempontból a lézersugár nagyszámú egyforma fotonból áll, melyek energiája

ℏ ω_{L}

és impulzusa

- ℏ q

. A fotont elnyelheti egy atom, amely azt később spontán kibocsátja; ez a kibocsátás (emisszió) azonos valószínűséggel történhet a

+ x

és a

- x

irányban. Mivel az atom nemrelativisztukus sebességgel mozog,

v / c ≪ 1

(ahol

c

a fénysebesség). Vedd figyelembe azt is, hogy

ℏ q / m v ≪ 1

, azaz az atom impulzusa sokkal nagyobb egy foton impulzusánál. A válaszaidban mindkét mennyiségnek csak az elsőrendű (lineáris) tagjait vedd figyelembe.

4. ábra. Egy

m

tömegű,

v

sebességű, a

+ x

irányban haladó atom, amely egy

ℏ ω_{L}

energiájú és

- ℏ q

impulzusú fotonnal ütközik. Az atomnak két belső állapota van

ℏ ω_{0}

energiakülönbséggel

Feltételezd, hogy a lézer

ω_{L}

körfrekvenciája úgy van hangolva, hogy a mozgó atom rendszeréből nézve rezonanciában van az atom belső átmenetével. Válaszolj a következő kérdésekre:

1. Elnyelés (abszorpció)
1.a. Add meg a foton elnyelésének (abszorpciójának) rezonanciafeltételét!
1.b. Add meg az atom

p_{a}

impulzusát az elnyelés után, a laboratórium rendszeréből nézve!
1.c. Add meg az atom

ε_{a}

teljes energiáját az elnyelés után, a laboratórium rendszeréből nézve!

2. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a

- x

irányban
Az ütköző foton elnyelődése (abszorbciója) után valamennyi idővel az atom egy fotont bocsáthat ki (emittálhat) a

- x

irányban.
2.a. Add meg a kibocsátott foton

ε_{f}

energiáját a

- x

irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
2.b. Add meg a kibocsátott foton

p_{f}

impulzusát a

- x

irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
2.c. Add meg az atom

p_{a}

impulzusát a

- x

irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
2.d. Add meg az atom

ε_{a}

teljes energiáját a

- x

irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!

3. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a

+ x

irányban
Az ütköző foton elnyelődése (abszorbciója) után valamennyi idővel az atom egy fotont bocsáthat ki (emittálhat) a

+ x

irányban.
3.a. Add meg a kibocsátott foton

ε_{f}

energiáját a

+ x

irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
3.b. Add meg a kibocsátott foton

p_{f}

impulzusát a

+ x

irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
3.c. Add meg az atom

p_{a}

impulzusát a

+ x

irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
3.d. Add meg az atom

ε_{a}

teljes energiáját a

+ x

irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!

4. Átlagos kibocsátás (emisszió) az elnyelés (abszorpció) után
A foton spontán kibocsátása egyforma valószínűséggel történhet a

- x

vagy a

+ x

irányban. Ezt figyelembe véve válaszolj a következő kérdésekre:
4.a. Add meg a kibocsátott foton

ε_{f}

átlagos energiáját az emissziós folyamat után!
4.b. Add meg a kibocsátott foton

p_{f}

átlagos impulzusát az emissziós folyamat után!
4.c. Add meg az atom

ε_{a}

átlagos teljes energiáját az emissziós folyamat után!
4.d. Add meg az atom

p_{a}

átlagos impulzusát az emissziós folyamat után!

5. Energia- és impulzusátadás
Tekints egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási (abszorpciós-emissziós) folyamatot, ahogy azt az eddigiekben tárgyaltuk. A lézersugár és az atom között egy eredő átlagos impulzus- és energiaátadás figyelhető meg.
5.a. Add meg az atom

Δ ε

átlagos energiaváltozását egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási folyamat után!
5.b. Add meg az atom

Δ p

átlagos impulzusváltozását egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási folyamat után!

6. Energia- és impulzusátadás egy

+ x

irányú lézersugárral
Tekints most egy olyan lézersugarat, amelynek

ω'_{L}

a körfrekvenciája és a

+ x

irányban halad, miközben az atom szintén a

+ x

irányban halad

v

sebességgel. Azt feltételezve, hogy az atom belső átmenete és a lézersugár között az atom rendszeréből nézve teljesül a rezonanciafeltétel, válaszolja következő kérdésekre:
6.a. Add meg az atom

Δ ε

átlagos energiaváltozását egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási folyamat után!
6.b. Add meg az atom

Δ p

átlagos impulzusváltozását egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási folyamat után!

II. rész: Disszipáció és az optikai szirup alapjai
A természetben a kvantumfolyamatokat elkerülhetetlenül bizonytalanság kíséri. Így az a tény, hogy az atom az elnyelés után véges idővel bocsát ki egy fotont, azzal a következménnyel jár, hogy a rezonanciafeltétel nem teljesül egzaktul, úgy ahogy azt eddig tárgyaltuk. Azaz a lézersugár

ω_{L}

és

ω'_{L}

körfrekvenciája bármilyen értéket felvehet, és az elnyelés (abszorpció) mégis bekövetkezhet. Az elnyelés különböző (kvantum)valószínűséggel történik, és ‐ mint ahogy azt sejteni lehet ‐ a legnagyobb valószínűséggel éppen a rezonanciafeltétel egzakt teljesülésekor. Egy foton elnyelése és kibocsátása között átlagosan eltelő időt a gerjesztett állapot élettartamának nevezzük, és így jelöljük:

Γ^{- 1}

.
Tekintsünk egy

N

atomból álló, a laboratórium koordinátarendszeréhez viszonyítva nyugalomban lévő atomhalmazt, és egy rá eső

ω_{L}

körfrekvenciájú lézersugarat. Az atomok folyamatosan fotonokat nyelnek el és bocsátanak ki, úgy, hogy átlagosan

N_{g}

atom van gerjesztett állapotban (és így

N - N_{g}

atom alapállapotban). Kvantummechanikai számítás eredményeként adódik, hogy:

\begin{matrix} N_{g} = N \frac{Ω_{R}^{2}}{{(ω_{0} - ω_{L})}^{2} + \frac{Γ^{2}}{4} + 2 Ω_{R}^{2}}, \end{matrix}

ahol

ω_{0}

az atomi átmenet rezonancia-körfrekvenciája, és

Ω_{R}

az úgynevezett Rabi-frekvencia;

Ω_{R}^{2}

arányos a lézersugár intenzitásával. Láthatod, hogy ez az érték ‐ ahogy már említettük ‐ akkor is különbözik nullától, ha

ω_{0}

nem egyezik meg a lézersugár

ω_{L}

körfrekvenciájával. Az előbbi eredményt úgy is kifejezhetjük, hogy időegységenként bekövetkező elnyelési-kibocsátási (abszorpciós-emissziós) folyamatok száma

N_{g} Γ

.
Tekintsd az 5. ábrán látható fizikai elrendezést, ahol két szemben haladó lézersugár egymással azonos, de amúgy tetszőleges

ω_{L}

körfrekvenciával ütközik az

N

atomból álló,

+ x

irányban

v

sebességgel mozgó gáznak.

5. ábra. Két szemben haladó lézersugár egymással azonos, de amúgy tetszőleges

ω_{L}

körfrekvenciával ütközik az

N

atomból álló,

+ x

irányban

v

sebességgel mozgó gáznak

7. A lézer által az atomnyalábra kifejtett erő
7.a. Az eddigi információk alapján határozd meg azt az erőt, amit a lézersugár kifejt az atomnyalábra! Használd ki, hogy

m v ≫ ℏ q

.
8. Kissebességű határeset. Most tételezd fel, hogy az atomok sebessége elég kicsi ahhoz, hogy az erő a

v

sebesség első rendű tagjával közelíthető.
8.a. Határozd meg a 7.a. feladatban meghatározott erő kifejezését ebben a közelítésben!
Felhasználva ezt az eredményt megkeresheted annak a feltételét, hogy a lézersugár az atomnyalábot gyorsítja, lassítja, illetve nem hat rá.
8.b. Add meg annak a feltételét, hogy az erő pozitív (gyorsítja az atomokat)!
8.c. Add meg annak a feltételét, hogy az erő nulla!
8.d. Add meg annak a feltételét, hogy az erő negatív (lassítja az atomokat)!
8.e. Most tedd fel, hogy az atomok

- v

sebességgel mozognak (a

- x

irányban). Add meg annak a feltételét, hogy az erő lassítsa az atomokat!
9. Optikai szirup. Negatív erő esetében egy disszipatív súrlódó erőt kapunk. Tedd fel, hogy kezdetben, amikor

t = 0

, a gáz atomjai

v_{0}

sebességgel mozognak.
9.a. Kissebességes közelítésben határozd meg az atomok sebességét azután, hogy a lézersugarak

τ

ideje be vannak kapcsolva.
9.b. Most tételezd fel, hogy a gáz atomjai kezdetben

T_{0}

hőmérsékleten termikus egyensúlyban vannak. Határozd meg a

T

hőmérsékletet azután, hogy a lézersugarak

τ

ideje be vannak kapcsolva.
(A modell azonban nem teszi lehetővé tetszőlegesen kicsi hőmérséklet elérését.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ennek a feladatnak a megoldásában kulcsszerepet játszik a relativisztikus, longitudinális Doppler-effektus. Ha az $ω$ körfrekvenciájú fényt kibocsátó fényforrás a megfigyelőhöz képest $v$ relatív sebességgel mozog, akkor a megfigyelő által észlelt $ω'$ körfrekvencia

\begin{matrix} ω' = ω \sqrt[]{\frac{1 \pm \frac{v}{c}}{1 \mp \frac{v}{c}}} \approx ω (1 \pm \frac{v}{c}), \end{matrix}

(8)

ahol

c

a fénysebesség, és a második, közelítő egyenlőség akkor igaz, ha

\frac{v}{c} ≪ 1

. A felső előjelezés akkor érvényes, ha a fényforrás és a megfigyelő közelednek egymáshoz, az alsó pedig akkor, ha távolodnak. (A közelítés az

ε ≪ 1

esetén érvényes

{(1 + ε)}^{a} \approx 1 + a ε

formula többszöri alkalmazásával kapható meg.)
Jelölje

ω_{L}

a lézer laboratóriumban mért körfrekvenciáját, legyen

ℏ ω_{0}

az atom két állapota közti energiakülönbség. Ekkor a

- x

tengely irányába haladó foton energiája

ℏ ω_{L}

, impulzusa

- \frac{ℏ ω_{L}}{c} = - ℏ q

, ahol

q

a hullámszám.
A feladatmegoldás során végig feltételezzük, hogy

\frac{v}{c} ≪ 1

, valamint

\begin{matrix} \frac{ℏ q}{m v} = \frac{ℏ ω_{L}}{m v c} ≪ 1, \end{matrix}

és ezen kis mennyiségekben első rendig számolunk.

I. rész: A lézeres hűtés alapjai
1. Elnyelés (abszorpció)
A (8) egyenlet alapján a fényforráshoz

v

sebességgel közeledő atom által észlelt frekvencia

ω_{L} (1 + \frac{v}{c})

, tehát a rezonanciafeltétel

ω_{0} = ω_{L} (1 + \frac{v}{c})

. A foton elnyelése után az atom impulzusa a foton impulzusával csökken, így

p_{a} = m v - \frac{ℏ ω_{L}}{c}

. Az atom teljes energiája a mozgási energiájának és a gerjesztési energiának az összege, azaz

\begin{matrix} ε_{a} = \frac{p_{a}^{2}}{2 m} + ℏ ω_{0} \approx \frac{m v^{2}}{2} + ℏ ω_{L} . \end{matrix}

2. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a

- x

irányban
A

v' = v - \frac{ℏ ω_{L}}{v c}

sebességgel mozgó atom saját rendszerében

ω_{0}

frekvenciájú fotont bocsát ki, ami azt jelenti, hogy a labor rendszeréből a foton frekvenciája

\begin{matrix} ω_{0} (1 - \frac{v'}{c}) = ω_{0} (1 - \frac{v}{c} + \frac{ℏ ω_{L}}{m v c} \frac{v}{c}) \approx ω_{0} (1 - \frac{v}{c}) \approx ω_{L} . \end{matrix}

(9)

Innen a foton energiája és impulzusa egyszerűen kiszámolható:

\begin{matrix} p_{f}^{-} \approx - \frac{ℏ ω_{L}}{c}, ε_{f}^{-} \approx ℏ ω_{L} . \end{matrix}

(10a)

A foton kibocsátása után az atom impulzusa ezzel az értékkel nő, így

\begin{matrix} p_{a}^{-} \approx m v, ε_{a}^{-} = \frac{{(p_{a}^{-})}^{2}}{2 m} \approx \frac{m v^{2}}{2} . \end{matrix}

(10b)

Végeredményben az abszorpciós-emissziós folyamat után a két részecske állapota olyan, mintha a foton nem is lépett volna kölcsönhatásba az atommal.

3. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a

+ x

irányban
Ha az atom

+ x

irányban bocsátja ki a fotont, akkor labor rendszerében nagyobbnak észleljük a foton frekvenciáját. Az előző (9) levezetéshez hasonlóan kell számolnunk, azonban

v'

előjele módosul:

\begin{matrix} ω_{0} (1 + \frac{v'}{c}) \approx ω_{0} (1 + \frac{v}{c}) \approx ω_{L} (1 + \frac{2 v}{c}) . \end{matrix}

Ezután már könnyen megkapjuk a foton, illetve az atom energiáját és impulzusát:

\begin{matrix} p_{f}^{+} & \approx \frac{ℏ ω_{L}}{c} (1 + \frac{2 v}{c}), & ε_{f}^{+} & \approx ℏ ω_{L} (1 + \frac{2 v}{c}), & (11a) \\ p_{a}^{+} & \approx m v - \frac{2 ℏ ω_{L}}{c}, & ε_{a}^{+} & \approx \frac{m v^{2}}{2} (1 - \frac{4 ℏ ω_{L}}{m v c}) . & (11b) \end{matrix}

4. Átlagos kibocsátás (emisszió) az elnyelés (abszorpció) után
Minthogy a spontán emisszió egyforma valószínűséggel mehet végbe

+ x

és

- x

irányban, a keresett átlagértékek a (10) és (11) mennyiségek számtani közepeiként kaphatók meg:

\begin{matrix} {\bar{p}}_{f} & \approx \frac{ℏ ω_{L} v}{c^{2}} \approx 0, & {\bar{ε}}_{f} & \approx ℏ ω_{L} (1 + \frac{v}{c}), & (12a) \\ {\bar{p}}_{a} & \approx m v - \frac{ℏ ω_{L}}{c}, & {\bar{ε}}_{a} & \approx \frac{m v^{2}}{2} (1 - \frac{2 ℏ ω_{L}}{m v c}) . & (12b) \end{matrix}

5. Energia- és impulzusátadás
A

- x

irányban haladó foton által az atomnak átlagosan átadott impulzus és energia a kölcsönhatás utáni (12) átlagértékek és a kezdeti értékek különbségeként kapható meg:

\begin{matrix} Δ p^{-} = {\bar{p}}_{a} - m v \approx - \frac{ℏ ω_{L}}{c}, Δ ε^{-} = {\bar{ε}}_{a} - \frac{m v^{2}}{2} \approx - \frac{ℏ ω_{L} v}{c} . \end{matrix}

(13)

6. Energia- és impulzusátadás egy

+ x

irányú lézersugárral
Ha a foton nem szemből, hanem az atommal azonos irányból érkezik, teljesen hasonló módon ellentétes előjelű eredményeket kapunk az átlagos energia- és impulzusátadásra:

\begin{matrix} Δ p^{+} \approx \frac{ℏ ω'_{L}}{c}, Δ ε^{+} \approx \frac{ℏ ω'_{L} v}{c} . \end{matrix}

(14)

II. rész: Disszipáció és az optikai szirup alapjai
A feladat közlése szerint a laboratóriumban nyugalomban levő atomok

\begin{matrix} P_{g} (ω_{L}) = \frac{N_{g}}{N} = \frac{Ω_{R}^{2}}{{(ω_{0} - ω_{L})}^{2} + \frac{Γ^{2}}{4} + 2 Ω_{R}^{2}} . \end{matrix}

(15)

valószínűséggel találhatók gerjesztett állapotban az

ω_{L}

frekvenciájú fotonokkal való kölcsönhatás eredményeként. A képletben

Ω_{R}

az úgynevezett Rabi-frekvencia, melynek négyzete a lézer intenzitásával arányos,

Γ

pedig az adott átmenet élettartamának reciproka. Látható, hogy ez a valószínűség

ω_{L} = ω_{0}

esetén maximális, nem haladja meg az

\frac{1}{2}

értéket, és

| ω_{L} - ω_{0} | ≫ Γ, Ω_{R}

esetén gyorsan csökken.

7. A lézer által az atomnyalábra kifejtett erő
A (15) képlet nyugalomban levő atomokra vonatkozik, tehát csak úgy használhatjuk, ha áttérünk az atomokkal együtt

v

sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszerbe. Ekkor azonban Doppler-eltolódás miatt a

- x

irányban haladó fotonok frekvenciáját

ω^{-} = ω_{L} (1 + \frac{v}{c})

-nek, míg a

+ x

irányban haladókét

ω^{+} = ω_{L} (1 - \frac{v}{c})

-nek észleljük. Mindkét fotonnyaláb egymástól függetlenül gerjeszti az atomok

N_{g} = N P_{g}

részét, így időegységenként

Γ N_{g}

elnyelési‐kibocsátási folyamat megy végbe a balra, illetve jobbra haladó fotonokkal. Felhasználva a (13) és (14) eredményeket, a keresett erő:

\begin{matrix} F & = Γ N (P_{g} (ω^{-}) Δ p^{-} + P_{g} (ω^{+}) Δ p^{+}) = \\ = \frac{Ω_{R}^{2} N Γ ℏ \frac{ω_{L}}{c}}{{(ω_{0} - ω_{L} (1 - \frac{v}{c}))}^{2} + \frac{Γ^{2}}{4} + 2 Ω_{R}^{2}} - \frac{Ω_{R}^{2} N Γ ℏ \frac{ω_{L}}{c}}{{(ω_{0} - ω_{L} (1 + \frac{v}{c}))}^{2} + \frac{Γ^{2}}{4} + 2 Ω_{R}^{2}} . \end{matrix}

8. Kissebességű határeset
Az erőre kapott formula

\begin{matrix} F = \frac{A}{B + C} - \frac{A}{B - C} \approx \frac{A}{B} (1 - \frac{C}{B} - (1 + \frac{C}{B})) = - \frac{2 A C}{B^{2}} \end{matrix}

alakú, ahol

C ≪ B

. A számolást elvégezve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} F \approx - \frac{4 Ω_{R}^{2} N Γ ℏ {(\frac{ω_{L}}{c})}^{2}}{{({(ω_{0} - ω_{L})}^{2} + \frac{Γ^{2}}{4} + 2 Ω_{R}^{2})}^{2}} (ω_{0} - ω_{L}) v . \end{matrix}

(16)

Látható, hogy az erő pozitív (gyorsító), ha

ω_{L} > ω_{0}

, zérus, ha

ω_{L} = ω_{0}

, és negatív (lassító), ha

ω_{L} < ω_{0}

. Természetesen a jelenség független az

x

tengely irányításától, tehát ha a lézer frekvenciáját kicsit az átmenet ,,alá hangoljuk'', akkor mindig az atom mozgásával ellentétes irányú a fotonok által kifejtett erő.

9. Optikai szirup
Ha az atomokra sebességükkel arányos fékezőerő hat, akkor mozgásegyenletük

m \dot{v} = - β v

, ahol a

β > 0

konstans a (16) egyenletből kiolvasható. Figyelembevéve a

v (0) = v_{0}

kezdeti feltételt, az atomok sebessége a

\begin{matrix} v (τ) = v_{0} e^{- \frac{β}{m} τ} \end{matrix}

függvény szerint csökken. Az ekvipartíció-tétel értelmében

T \sim v^{2}

, tehát a hőmérséklet

T (τ) = T_{0} e^{- \frac{2 β}{m} τ}

időfüggést mutat.