2. feladat. Lézeres Doppler-hűtés és optikai szirupok
Ennek a feladatnak az a célja, hogy egyszerű elméleti megfontolással megértsed a ,,lézeres hűtés'' és az ,,optikai szirup'' jelenségeket. Ez azt jelenti, hogy semleges atomok (általában alkáli fémek) nyalábját egymással szemben haladó, azonos frekvenciájú lézersugarakkal hűtjük. Ezért kapott 1997-ben fizikai Nobel-díjat S. Chu, P. Phillips és C. Cohen-Tannoudji. A hátsó belső borító jobb felső képe nátrium atomokat ábrázol (a fényes pont középen), melyek három, egymásra merőleges lézersugár-pár kereszteződésében vannak csapdázva. A csapda területét szokás ,,optikai szirup''-nak (,,optical molasses'') nevezni, mivel a disszipatív optikai erő a szirupon áthaladó testekre ható viszkózus erőre emlékeztet. Ebben a feladatban egy foton és egy atom egyszerű kölcsönhatását és a disszipációs mechanizmust fogod vizsgálni egy dimenzióban.
I. rész: A lézeres hűtés alapjai Tekints egy tömegű atomot, amely a irányban, sebességgel mozog. Az egyszerűség kedvéért vizsgáld a problémát egy dimenzióban, azaz ne foglalkozz az és irányokkal (4. ábra). Az atomnak két belső energiaszintje van. Az alapállapot energiáját nullának tekintjük, a gerjesztett állapot energiája pedig , ahol . Az atom kezdetben alapállapotban van. Egy lézersugár, melynek a laboratórium koordináta-rendszerében mért körfrekvenciája , a irányban halad, és ütközik egy atommal. Kvantummechanikai szempontból a lézersugár nagyszámú egyforma fotonból áll, melyek energiája és impulzusa . A fotont elnyelheti egy atom, amely azt később spontán kibocsátja; ez a kibocsátás (emisszió) azonos valószínűséggel történhet a és a irányban. Mivel az atom nemrelativisztukus sebességgel mozog, (ahol a fénysebesség). Vedd figyelembe azt is, hogy , azaz az atom impulzusa sokkal nagyobb egy foton impulzusánál. A válaszaidban mindkét mennyiségnek csak az elsőrendű (lineáris) tagjait vedd figyelembe.
4. ábra. Egy tömegű, sebességű, a irányban haladó atom, amely egy energiájú és impulzusú fotonnal ütközik. Az atomnak két belső állapota van energiakülönbséggel Feltételezd, hogy a lézer körfrekvenciája úgy van hangolva, hogy a mozgó atom rendszeréből nézve rezonanciában van az atom belső átmenetével. Válaszolj a következő kérdésekre:
1. Elnyelés (abszorpció) 1.a. Add meg a foton elnyelésének (abszorpciójának) rezonanciafeltételét! 1.b. Add meg az atom impulzusát az elnyelés után, a laboratórium rendszeréből nézve! 1.c. Add meg az atom teljes energiáját az elnyelés után, a laboratórium rendszeréből nézve!
2. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a irányban Az ütköző foton elnyelődése (abszorbciója) után valamennyi idővel az atom egy fotont bocsáthat ki (emittálhat) a irányban. 2.a. Add meg a kibocsátott foton energiáját a irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve! 2.b. Add meg a kibocsátott foton impulzusát a irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve! 2.c. Add meg az atom impulzusát a irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve! 2.d. Add meg az atom teljes energiáját a irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
3. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a irányban Az ütköző foton elnyelődése (abszorbciója) után valamennyi idővel az atom egy fotont bocsáthat ki (emittálhat) a irányban. 3.a. Add meg a kibocsátott foton energiáját a irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve! 3.b. Add meg a kibocsátott foton impulzusát a irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve! 3.c. Add meg az atom impulzusát a irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve! 3.d. Add meg az atom teljes energiáját a irányú emissziós folyamat után, a laboratórium rendszeréből nézve!
4. Átlagos kibocsátás (emisszió) az elnyelés (abszorpció) után A foton spontán kibocsátása egyforma valószínűséggel történhet a vagy a irányban. Ezt figyelembe véve válaszolj a következő kérdésekre: 4.a. Add meg a kibocsátott foton átlagos energiáját az emissziós folyamat után! 4.b. Add meg a kibocsátott foton átlagos impulzusát az emissziós folyamat után! 4.c. Add meg az atom átlagos teljes energiáját az emissziós folyamat után! 4.d. Add meg az atom átlagos impulzusát az emissziós folyamat után!
5. Energia- és impulzusátadás Tekints egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási (abszorpciós-emissziós) folyamatot, ahogy azt az eddigiekben tárgyaltuk. A lézersugár és az atom között egy eredő átlagos impulzus- és energiaátadás figyelhető meg. 5.a. Add meg az atom átlagos energiaváltozását egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási folyamat után! 5.b. Add meg az atom átlagos impulzusváltozását egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási folyamat után!
6. Energia- és impulzusátadás egy irányú lézersugárral Tekints most egy olyan lézersugarat, amelynek a körfrekvenciája és a irányban halad, miközben az atom szintén a irányban halad sebességgel. Azt feltételezve, hogy az atom belső átmenete és a lézersugár között az atom rendszeréből nézve teljesül a rezonanciafeltétel, válaszolja következő kérdésekre: 6.a. Add meg az atom átlagos energiaváltozását egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási folyamat után! 6.b. Add meg az atom átlagos impulzusváltozását egy teljes egyfotonos elnyelési-kibocsátási folyamat után!
II. rész: Disszipáció és az optikai szirup alapjai A természetben a kvantumfolyamatokat elkerülhetetlenül bizonytalanság kíséri. Így az a tény, hogy az atom az elnyelés után véges idővel bocsát ki egy fotont, azzal a következménnyel jár, hogy a rezonanciafeltétel nem teljesül egzaktul, úgy ahogy azt eddig tárgyaltuk. Azaz a lézersugár és körfrekvenciája bármilyen értéket felvehet, és az elnyelés (abszorpció) mégis bekövetkezhet. Az elnyelés különböző (kvantum)valószínűséggel történik, és ‐ mint ahogy azt sejteni lehet ‐ a legnagyobb valószínűséggel éppen a rezonanciafeltétel egzakt teljesülésekor. Egy foton elnyelése és kibocsátása között átlagosan eltelő időt a gerjesztett állapot élettartamának nevezzük, és így jelöljük: . Tekintsünk egy atomból álló, a laboratórium koordinátarendszeréhez viszonyítva nyugalomban lévő atomhalmazt, és egy rá eső körfrekvenciájú lézersugarat. Az atomok folyamatosan fotonokat nyelnek el és bocsátanak ki, úgy, hogy átlagosan atom van gerjesztett állapotban (és így atom alapállapotban). Kvantummechanikai számítás eredményeként adódik, hogy: | | ahol az atomi átmenet rezonancia-körfrekvenciája, és az úgynevezett Rabi-frekvencia; arányos a lézersugár intenzitásával. Láthatod, hogy ez az érték ‐ ahogy már említettük ‐ akkor is különbözik nullától, ha nem egyezik meg a lézersugár körfrekvenciájával. Az előbbi eredményt úgy is kifejezhetjük, hogy időegységenként bekövetkező elnyelési-kibocsátási (abszorpciós-emissziós) folyamatok száma . Tekintsd az 5. ábrán látható fizikai elrendezést, ahol két szemben haladó lézersugár egymással azonos, de amúgy tetszőleges körfrekvenciával ütközik az atomból álló, irányban sebességgel mozgó gáznak.
5. ábra. Két szemben haladó lézersugár egymással azonos, de amúgy tetszőleges körfrekvenciával ütközik az atomból álló, irányban sebességgel mozgó gáznak
7. A lézer által az atomnyalábra kifejtett erő 7.a. Az eddigi információk alapján határozd meg azt az erőt, amit a lézersugár kifejt az atomnyalábra! Használd ki, hogy . 8. Kissebességű határeset. Most tételezd fel, hogy az atomok sebessége elég kicsi ahhoz, hogy az erő a sebesség első rendű tagjával közelíthető. 8.a. Határozd meg a 7.a. feladatban meghatározott erő kifejezését ebben a közelítésben! Felhasználva ezt az eredményt megkeresheted annak a feltételét, hogy a lézersugár az atomnyalábot gyorsítja, lassítja, illetve nem hat rá. 8.b. Add meg annak a feltételét, hogy az erő pozitív (gyorsítja az atomokat)! 8.c. Add meg annak a feltételét, hogy az erő nulla! 8.d. Add meg annak a feltételét, hogy az erő negatív (lassítja az atomokat)! 8.e. Most tedd fel, hogy az atomok sebességgel mozognak (a irányban). Add meg annak a feltételét, hogy az erő lassítsa az atomokat! 9. Optikai szirup. Negatív erő esetében egy disszipatív súrlódó erőt kapunk. Tedd fel, hogy kezdetben, amikor , a gáz atomjai sebességgel mozognak. 9.a. Kissebességes közelítésben határozd meg az atomok sebességét azután, hogy a lézersugarak ideje be vannak kapcsolva. 9.b. Most tételezd fel, hogy a gáz atomjai kezdetben hőmérsékleten termikus egyensúlyban vannak. Határozd meg a hőmérsékletet azután, hogy a lézersugarak ideje be vannak kapcsolva. (A modell azonban nem teszi lehetővé tetszőlegesen kicsi hőmérséklet elérését.)
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ennek a feladatnak a megoldásában kulcsszerepet játszik a relativisztikus, longitudinális Doppler-effektus. Ha az körfrekvenciájú fényt kibocsátó fényforrás a megfigyelőhöz képest relatív sebességgel mozog, akkor a megfigyelő által észlelt körfrekvencia ahol a fénysebesség, és a második, közelítő egyenlőség akkor igaz, ha . A felső előjelezés akkor érvényes, ha a fényforrás és a megfigyelő közelednek egymáshoz, az alsó pedig akkor, ha távolodnak. (A közelítés az esetén érvényes formula többszöri alkalmazásával kapható meg.) Jelölje a lézer laboratóriumban mért körfrekvenciáját, legyen az atom két állapota közti energiakülönbség. Ekkor a tengely irányába haladó foton energiája , impulzusa , ahol a hullámszám. A feladatmegoldás során végig feltételezzük, hogy , valamint és ezen kis mennyiségekben első rendig számolunk.
I. rész: A lézeres hűtés alapjai 1. Elnyelés (abszorpció) A (8) egyenlet alapján a fényforráshoz sebességgel közeledő atom által észlelt frekvencia , tehát a rezonanciafeltétel . A foton elnyelése után az atom impulzusa a foton impulzusával csökken, így . Az atom teljes energiája a mozgási energiájának és a gerjesztési energiának az összege, azaz
2. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a irányban A sebességgel mozgó atom saját rendszerében frekvenciájú fotont bocsát ki, ami azt jelenti, hogy a labor rendszeréből a foton frekvenciája | | (9) | Innen a foton energiája és impulzusa egyszerűen kiszámolható: A foton kibocsátása után az atom impulzusa ezzel az értékkel nő, így | | (10b) | Végeredményben az abszorpciós-emissziós folyamat után a két részecske állapota olyan, mintha a foton nem is lépett volna kölcsönhatásba az atommal.
3. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a irányban Ha az atom irányban bocsátja ki a fotont, akkor labor rendszerében nagyobbnak észleljük a foton frekvenciáját. Az előző (9) levezetéshez hasonlóan kell számolnunk, azonban előjele módosul: | | Ezután már könnyen megkapjuk a foton, illetve az atom energiáját és impulzusát:
4. Átlagos kibocsátás (emisszió) az elnyelés (abszorpció) után Minthogy a spontán emisszió egyforma valószínűséggel mehet végbe és irányban, a keresett átlagértékek a (10) és (11) mennyiségek számtani közepeiként kaphatók meg:
5. Energia- és impulzusátadás A irányban haladó foton által az atomnak átlagosan átadott impulzus és energia a kölcsönhatás utáni (12) átlagértékek és a kezdeti értékek különbségeként kapható meg: | | (13) |
6. Energia- és impulzusátadás egy irányú lézersugárral Ha a foton nem szemből, hanem az atommal azonos irányból érkezik, teljesen hasonló módon ellentétes előjelű eredményeket kapunk az átlagos energia- és impulzusátadásra: | | (14) |
II. rész: Disszipáció és az optikai szirup alapjai A feladat közlése szerint a laboratóriumban nyugalomban levő atomok | | (15) | valószínűséggel találhatók gerjesztett állapotban az frekvenciájú fotonokkal való kölcsönhatás eredményeként. A képletben az úgynevezett Rabi-frekvencia, melynek négyzete a lézer intenzitásával arányos, pedig az adott átmenet élettartamának reciproka. Látható, hogy ez a valószínűség esetén maximális, nem haladja meg az értéket, és esetén gyorsan csökken.
7. A lézer által az atomnyalábra kifejtett erő A (15) képlet nyugalomban levő atomokra vonatkozik, tehát csak úgy használhatjuk, ha áttérünk az atomokkal együtt sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszerbe. Ekkor azonban Doppler-eltolódás miatt a irányban haladó fotonok frekvenciáját -nek, míg a irányban haladókét -nek észleljük. Mindkét fotonnyaláb egymástól függetlenül gerjeszti az atomok részét, így időegységenként elnyelési‐kibocsátási folyamat megy végbe a balra, illetve jobbra haladó fotonokkal. Felhasználva a (13) és (14) eredményeket, a keresett erő:
8. Kissebességű határeset Az erőre kapott formula | | alakú, ahol . A számolást elvégezve azt kapjuk, hogy | | (16) | Látható, hogy az erő pozitív (gyorsító), ha , zérus, ha , és negatív (lassító), ha . Természetesen a jelenség független az tengely irányításától, tehát ha a lézer frekvenciáját kicsit az átmenet ,,alá hangoljuk'', akkor mindig az atom mozgásával ellentétes irányú a fotonok által kifejtett erő.
9. Optikai szirup Ha az atomokra sebességükkel arányos fékezőerő hat, akkor mozgásegyenletük , ahol a konstans a (16) egyenletből kiolvasható. Figyelembevéve a kezdeti feltételt, az atomok sebessége a függvény szerint csökken. Az ekvipartíció-tétel értelmében , tehát a hőmérséklet időfüggést mutat.
|
|