Kezdőlap


Feladat:	2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2009/november, 495 - 498. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Doppler-hatás (Doppler-effektus), Gerjesztés sugárzással (abszorpció), Indukált emisszió (lézerhatás)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: 2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ennek a feladatnak a megoldásában kulcsszerepet játszik a relativisztikus, longitudinális Doppler-effektus. Ha az $ω$ körfrekvenciájú fényt kibocsátó fényforrás a megfigyelőhöz képest $v$ relatív sebességgel mozog, akkor a megfigyelő által észlelt $ω'$ körfrekvencia

\begin{matrix} ω' = ω \sqrt[]{\frac{1 \pm \frac{v}{c}}{1 \mp \frac{v}{c}}} \approx ω (1 \pm \frac{v}{c}), \end{matrix}

(8)

ahol

c

a fénysebesség, és a második, közelítő egyenlőség akkor igaz, ha

\frac{v}{c} ≪ 1

. A felső előjelezés akkor érvényes, ha a fényforrás és a megfigyelő közelednek egymáshoz, az alsó pedig akkor, ha távolodnak. (A közelítés az

ε ≪ 1

esetén érvényes

{(1 + ε)}^{a} \approx 1 + a ε

formula többszöri alkalmazásával kapható meg.)
Jelölje

ω_{L}

a lézer laboratóriumban mért körfrekvenciáját, legyen

ℏ ω_{0}

az atom két állapota közti energiakülönbség. Ekkor a

- x

tengely irányába haladó foton energiája

ℏ ω_{L}

, impulzusa

- \frac{ℏ ω_{L}}{c} = - ℏ q

, ahol

q

a hullámszám.
A feladatmegoldás során végig feltételezzük, hogy

\frac{v}{c} ≪ 1

, valamint

\begin{matrix} \frac{ℏ q}{m v} = \frac{ℏ ω_{L}}{m v c} ≪ 1, \end{matrix}

és ezen kis mennyiségekben első rendig számolunk.

I. rész: A lézeres hűtés alapjai
1. Elnyelés (abszorpció)
A (8) egyenlet alapján a fényforráshoz

v

sebességgel közeledő atom által észlelt frekvencia

ω_{L} (1 + \frac{v}{c})

, tehát a rezonanciafeltétel

ω_{0} = ω_{L} (1 + \frac{v}{c})

. A foton elnyelése után az atom impulzusa a foton impulzusával csökken, így

p_{a} = m v - \frac{ℏ ω_{L}}{c}

. Az atom teljes energiája a mozgási energiájának és a gerjesztési energiának az összege, azaz

\begin{matrix} ε_{a} = \frac{p_{a}^{2}}{2 m} + ℏ ω_{0} \approx \frac{m v^{2}}{2} + ℏ ω_{L} . \end{matrix}

2. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a

- x

irányban
A

v' = v - \frac{ℏ ω_{L}}{v c}

sebességgel mozgó atom saját rendszerében

ω_{0}

frekvenciájú fotont bocsát ki, ami azt jelenti, hogy a labor rendszeréből a foton frekvenciája

\begin{matrix} ω_{0} (1 - \frac{v'}{c}) = ω_{0} (1 - \frac{v}{c} + \frac{ℏ ω_{L}}{m v c} \frac{v}{c}) \approx ω_{0} (1 - \frac{v}{c}) \approx ω_{L} . \end{matrix}

(9)

Innen a foton energiája és impulzusa egyszerűen kiszámolható:

\begin{matrix} p_{f}^{-} \approx - \frac{ℏ ω_{L}}{c}, ε_{f}^{-} \approx ℏ ω_{L} . \end{matrix}

(10a)

A foton kibocsátása után az atom impulzusa ezzel az értékkel nő, így

\begin{matrix} p_{a}^{-} \approx m v, ε_{a}^{-} = \frac{{(p_{a}^{-})}^{2}}{2 m} \approx \frac{m v^{2}}{2} . \end{matrix}

(10b)

Végeredményben az abszorpciós-emissziós folyamat után a két részecske állapota olyan, mintha a foton nem is lépett volna kölcsönhatásba az atommal.

3. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a

+ x

irányban
Ha az atom

+ x

irányban bocsátja ki a fotont, akkor labor rendszerében nagyobbnak észleljük a foton frekvenciáját. Az előző (9) levezetéshez hasonlóan kell számolnunk, azonban

v'

előjele módosul:

\begin{matrix} ω_{0} (1 + \frac{v'}{c}) \approx ω_{0} (1 + \frac{v}{c}) \approx ω_{L} (1 + \frac{2 v}{c}) . \end{matrix}

Ezután már könnyen megkapjuk a foton, illetve az atom energiáját és impulzusát:

\begin{matrix} p_{f}^{+} & \approx \frac{ℏ ω_{L}}{c} (1 + \frac{2 v}{c}), & ε_{f}^{+} & \approx ℏ ω_{L} (1 + \frac{2 v}{c}), & (11a) \\ p_{a}^{+} & \approx m v - \frac{2 ℏ ω_{L}}{c}, & ε_{a}^{+} & \approx \frac{m v^{2}}{2} (1 - \frac{4 ℏ ω_{L}}{m v c}) . & (11b) \end{matrix}

4. Átlagos kibocsátás (emisszió) az elnyelés (abszorpció) után
Minthogy a spontán emisszió egyforma valószínűséggel mehet végbe

+ x

és

- x

irányban, a keresett átlagértékek a (10) és (11) mennyiségek számtani közepeiként kaphatók meg:

\begin{matrix} {\bar{p}}_{f} & \approx \frac{ℏ ω_{L} v}{c^{2}} \approx 0, & {\bar{ε}}_{f} & \approx ℏ ω_{L} (1 + \frac{v}{c}), & (12a) \\ {\bar{p}}_{a} & \approx m v - \frac{ℏ ω_{L}}{c}, & {\bar{ε}}_{a} & \approx \frac{m v^{2}}{2} (1 - \frac{2 ℏ ω_{L}}{m v c}) . & (12b) \end{matrix}

5. Energia- és impulzusátadás
A

- x

irányban haladó foton által az atomnak átlagosan átadott impulzus és energia a kölcsönhatás utáni (12) átlagértékek és a kezdeti értékek különbségeként kapható meg:

\begin{matrix} Δ p^{-} = {\bar{p}}_{a} - m v \approx - \frac{ℏ ω_{L}}{c}, Δ ε^{-} = {\bar{ε}}_{a} - \frac{m v^{2}}{2} \approx - \frac{ℏ ω_{L} v}{c} . \end{matrix}

(13)

6. Energia- és impulzusátadás egy

+ x

irányú lézersugárral
Ha a foton nem szemből, hanem az atommal azonos irányból érkezik, teljesen hasonló módon ellentétes előjelű eredményeket kapunk az átlagos energia- és impulzusátadásra:

\begin{matrix} Δ p^{+} \approx \frac{ℏ ω'_{L}}{c}, Δ ε^{+} \approx \frac{ℏ ω'_{L} v}{c} . \end{matrix}

(14)

II. rész: Disszipáció és az optikai szirup alapjai
A feladat közlése szerint a laboratóriumban nyugalomban levő atomok

\begin{matrix} P_{g} (ω_{L}) = \frac{N_{g}}{N} = \frac{Ω_{R}^{2}}{{(ω_{0} - ω_{L})}^{2} + \frac{Γ^{2}}{4} + 2 Ω_{R}^{2}} . \end{matrix}

(15)

valószínűséggel találhatók gerjesztett állapotban az

ω_{L}

frekvenciájú fotonokkal való kölcsönhatás eredményeként. A képletben

Ω_{R}

az úgynevezett Rabi-frekvencia, melynek négyzete a lézer intenzitásával arányos,

Γ

pedig az adott átmenet élettartamának reciproka. Látható, hogy ez a valószínűség

ω_{L} = ω_{0}

esetén maximális, nem haladja meg az

\frac{1}{2}

értéket, és

| ω_{L} - ω_{0} | ≫ Γ, Ω_{R}

esetén gyorsan csökken.

7. A lézer által az atomnyalábra kifejtett erő
A (15) képlet nyugalomban levő atomokra vonatkozik, tehát csak úgy használhatjuk, ha áttérünk az atomokkal együtt

v

sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszerbe. Ekkor azonban Doppler-eltolódás miatt a

- x

irányban haladó fotonok frekvenciáját

ω^{-} = ω_{L} (1 + \frac{v}{c})

-nek, míg a

+ x

irányban haladókét

ω^{+} = ω_{L} (1 - \frac{v}{c})

-nek észleljük. Mindkét fotonnyaláb egymástól függetlenül gerjeszti az atomok

N_{g} = N P_{g}

részét, így időegységenként

Γ N_{g}

elnyelési‐kibocsátási folyamat megy végbe a balra, illetve jobbra haladó fotonokkal. Felhasználva a (13) és (14) eredményeket, a keresett erő:

\begin{matrix} F & = Γ N (P_{g} (ω^{-}) Δ p^{-} + P_{g} (ω^{+}) Δ p^{+}) = \\ = \frac{Ω_{R}^{2} N Γ ℏ \frac{ω_{L}}{c}}{{(ω_{0} - ω_{L} (1 - \frac{v}{c}))}^{2} + \frac{Γ^{2}}{4} + 2 Ω_{R}^{2}} - \frac{Ω_{R}^{2} N Γ ℏ \frac{ω_{L}}{c}}{{(ω_{0} - ω_{L} (1 + \frac{v}{c}))}^{2} + \frac{Γ^{2}}{4} + 2 Ω_{R}^{2}} . \end{matrix}

8. Kissebességű határeset
Az erőre kapott formula

\begin{matrix} F = \frac{A}{B + C} - \frac{A}{B - C} \approx \frac{A}{B} (1 - \frac{C}{B} - (1 + \frac{C}{B})) = - \frac{2 A C}{B^{2}} \end{matrix}

alakú, ahol

C ≪ B

. A számolást elvégezve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} F \approx - \frac{4 Ω_{R}^{2} N Γ ℏ {(\frac{ω_{L}}{c})}^{2}}{{({(ω_{0} - ω_{L})}^{2} + \frac{Γ^{2}}{4} + 2 Ω_{R}^{2})}^{2}} (ω_{0} - ω_{L}) v . \end{matrix}

(16)

Látható, hogy az erő pozitív (gyorsító), ha

ω_{L} > ω_{0}

, zérus, ha

ω_{L} = ω_{0}

, és negatív (lassító), ha

ω_{L} < ω_{0}

. Természetesen a jelenség független az

x

tengely irányításától, tehát ha a lézer frekvenciáját kicsit az átmenet ,,alá hangoljuk'', akkor mindig az atom mozgásával ellentétes irányú a fotonok által kifejtett erő.

9. Optikai szirup
Ha az atomokra sebességükkel arányos fékezőerő hat, akkor mozgásegyenletük

m \dot{v} = - β v

, ahol a

β > 0

konstans a (16) egyenletből kiolvasható. Figyelembevéve a

v (0) = v_{0}

kezdeti feltételt, az atomok sebessége a

\begin{matrix} v (τ) = v_{0} e^{- \frac{β}{m} τ} \end{matrix}

függvény szerint csökken. Az ekvipartíció-tétel értelmében

T \sim v^{2}

, tehát a hőmérséklet

T (τ) = T_{0} e^{- \frac{2 β}{m} τ}

időfüggést mutat.