Feladat: B.4170 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Bodor Bertalan ,  Fonyó Dávid ,  Frankl Nóra ,  Huszár Kristóf ,  Lovas Lia Izabella ,  Márkus Bence ,  Mester Márton ,  Mezei Márk ,  Nagy Donát ,  Németh Bence ,  Somogyi Ákos ,  Strenner Péter ,  Szabó Attila ,  Tuan Nhat Le ,  Varga László ,  Varju Tamás ,  Weisz Ágoston 
Füzet: 2009/november, 477 - 479. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Számtani közép, Mértani közép, Térbeli ponthalmazok távolsága
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/március: B.4170

Egy sík az ABCD tetraéder AB, BC, CD, illetve AD éleit rendre a K, L, M és N pontokban metszi. Igazoljuk, hogy
AKABBLBCCMCDDNAD116.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A tetraéder csúcsainak a metsző síkon lévő merőleges vetületei legyenek A', B', C' és D', a csúcsoknak a metsző síktól vett távolságát pedig jelölje rendre dA, dB, dC, dD. (Ha ezen távolságok valamelyike 0, akkor az állítás nyilvánvaló.) Ekkor az AA'K és BB'K derékszögű háromszögek megfelelő szögeik egyenlősége miatt hasonlóak, tehát

AKBK=dAdB
és ugyanígy kapjuk, hogy
BLCL=dBdC,CMDM=dCdDésDNAN=dDdA.
Vagyis AKBLCMDN=BKCLDMAN.
Szorozzuk meg mindkét oldalt az
AKBLCMDN(ABBCCDAD)2
törttel, majd a jobb oldalt alakítsuk át felhasználva, hogy BK=AB-AK, CL=BC-BL, DM=CD-CM és AN=AD-DN, végül pedig alkalmazzuk a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenséget:
(AKBLCMDNABBCCDAD)2==AK(AB-AK)AB2BL(BC-BL)BC2CM(CD-CM)CD2DN(AD-DN)AD2(AK+(AB-AK)2)21AB2(BL+(BC-BL)2)21BC2(CM+(CD-CM)2)21CD2(DN+(AD-DN)2)21AD2=(122)4.

Az egyenlőtlenség mindkét oldalából négyzetgyököt vonva éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.
 
II. megoldás. Vegyünk fel egy térbeli derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a metsző sík egyenlete Z=0 legyen. Vetítsük a feladatban szereplő pontokat merőlegesen a z tengelyre, tetszőleges T pont vetülete legyen T'. A merőleges vetítés osztóviszonytartó, ezért elegendő azt megmutatnunk, hogy
A'K'A'B'B'L'B'C'C'M'C'D'D'N'A'D'116.

Ha a metsző sík átmegy a tetraéder valamelyik csúcsán, akkor az egyenlőtlenség nyilván teljesül, mert a bal oldali törtek egyike 0. Ha a sík egyik csúcson sem megy át, akkor az A és C csúcsok a sík egyik, a B és D csúcsok pedig a sík másik oldalán helyezkednek el. Mivel a metsző sík merőleges a z tengelyre, azért ugyanez igaz az A', C', illetve a B', D' pontokra is. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy A' és C' harmadik koordinátái pozitívak, míg B' és D' harmadik koordinátái negatívak. Tehát A'(0,0,a), B'(0,0,-b), C'(0,0,c) és D'(0,0,-d) alkalmas pozitív a, b, c, d számokkal. Mivel K'L'M'N'=(0,0,0),
A'K'A'B'=aa+b,B'L'B'C'=bb+c,C'M'C'D'=cc+désD'N'A'D'=dd+a.

Tehát azt kell bizonyítanunk, hogy tetszőleges pozitív a, b, c, d számok esetén fennáll az
aa+bbb+ccc+ddd+a116
egyenlőtlenség. Ez viszont egyszerűen következik a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenségek átrendezéséből adódó
aba+b12,bcb+c12,cdc+d12ésdad+a12
egyenlőtlenségek összeszorzásából.
A bizonyításból az is látszik, hogy egyenlőség pontosan akkor van, ha a metsző sík a tetraéder négy élfelezőpontján megy át.