|
Feladat: |
B.4170 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Blázsik Zoltán , Bodor Bertalan , Fonyó Dávid , Frankl Nóra , Huszár Kristóf , Lovas Lia Izabella , Márkus Bence , Mester Márton , Mezei Márk , Nagy Donát , Németh Bence , Somogyi Ákos , Strenner Péter , Szabó Attila , Tuan Nhat Le , Varga László , Varju Tamás , Weisz Ágoston |
Füzet: |
2009/november,
477 - 479. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Számtani közép, Mértani közép, Térbeli ponthalmazok távolsága |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2009/március: B.4170 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A tetraéder csúcsainak a metsző síkon lévő merőleges vetületei legyenek , , és , a csúcsoknak a metsző síktól vett távolságát pedig jelölje rendre , , , . (Ha ezen távolságok valamelyike 0, akkor az állítás nyilvánvaló.) Ekkor az és derékszögű háromszögek megfelelő szögeik egyenlősége miatt hasonlóak, tehát és ugyanígy kapjuk, hogy | | Vagyis . Szorozzuk meg mindkét oldalt az | | törttel, majd a jobb oldalt alakítsuk át felhasználva, hogy , , és , végül pedig alkalmazzuk a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenséget:
Az egyenlőtlenség mindkét oldalából négyzetgyököt vonva éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.
II. megoldás. Vegyünk fel egy térbeli derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a metsző sík egyenlete legyen. Vetítsük a feladatban szereplő pontokat merőlegesen a tengelyre, tetszőleges pont vetülete legyen . A merőleges vetítés osztóviszonytartó, ezért elegendő azt megmutatnunk, hogy | |
Ha a metsző sík átmegy a tetraéder valamelyik csúcsán, akkor az egyenlőtlenség nyilván teljesül, mert a bal oldali törtek egyike 0. Ha a sík egyik csúcson sem megy át, akkor az és csúcsok a sík egyik, a és csúcsok pedig a sík másik oldalán helyezkednek el. Mivel a metsző sík merőleges a tengelyre, azért ugyanez igaz az , , illetve a , pontokra is. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy és harmadik koordinátái pozitívak, míg és harmadik koordinátái negatívak. Tehát , , és alkalmas pozitív , , , számokkal. Mivel , | |
Tehát azt kell bizonyítanunk, hogy tetszőleges pozitív , , , számok esetén fennáll az egyenlőtlenség. Ez viszont egyszerűen következik a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenségek átrendezéséből adódó | | egyenlőtlenségek összeszorzásából. A bizonyításból az is látszik, hogy egyenlőség pontosan akkor van, ha a metsző sík a tetraéder négy élfelezőpontján megy át. |
|