Feladat: B.4131 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Lovas Lia Izabella ,  Török Csaba 
Füzet: 2009/szeptember, 333 - 335. oldal  PDF file
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, Mértani sorozat, Kocka, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/november: B.4131

Egy 3×3×3-as kockarács egyik sarokkockájába egy egeret teszünk, a középsőbe pedig egy darab sajtot. Az egér bolyong a sajtot keresve: minden lépésben véletlenszerűen lép át valamelyik szomszédos kockába. Várhatóan hány lépésben találja meg a sajtot?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Nevezzük a 3×3-as kocka sarokkockáit A, az élek közepénél elhelyezkedő kockákat B, a lapok középpontjainál levő kockákat C kockáknak.
Ha az egér egy A kockában van, akkor a következő lépéssel biztosan B kockába kerül. B kockából 1/2 valószínűséggel A, 1/2 valószínűséggel pedig C kockába kerül. C kockából 4/5 valószínűséggel lép B kockába, 1/5 valószínűséggel pedig megtalálja a sajtot.
Ahhoz, hogy az egér C kockába kerüljön, biztosan páros sok lépésre van szükség, mivel ide B kockából lehet csak lépni, és az egér az 1. lépésben B kockába kerül, és innentől kezdve (amíg meg nem találja a sajtot) minden 2. lépésben B kockába kerül. A 3×3-as kocka közepébe C kockából lehet lépni, így ehhez páratlan sok, és legalább 3 lépésre van szükség. Az 1. lépés után az egér B kockában van. Vizsgáljuk meg, mekkora valószínűséggel találja meg 2 lépés múlva a sajtot. Először C-be, majd a kocka középpontjába kell lépnie, a fentiek szerint ennek valószínűsége

1215=110.
Ha az egér nem találta meg a sajtot, akkor 2 lépés után ismét B-ben van, ennek valószínűsége tehát
1-110=910.

A lépésszám várható értéke ezek alapján:
3110+5910110+7(910)2110+9(910)3110+...==110(3+5910+7(910)2+...)==110[3(1+910+(910)2+...)+2(910+(910)2+...)++2((910)2+(910)3+...)+2((910)3+(910)4+...)+...]

A q hányadosú végtelen mértani sor összegképlete: a11-q. Így
1+910+(910)2+...=11-910=10.

Így a keresett várható érték:
110[310+2(910+(910)2+(910)3+...)(1+910+(910)2+...)]==110[310+2(910+(910)2+...)10]==3+2(1+910+(910)2+...)910=3+210910=21.

 
II. megoldás. A középső egységkockához való eljutásig szükséges átlagos lépésszámot jelölje k, ha sarokkockából; l, ha élközépkockából; és m, ha lapközépkockából indulunk ‐ feltéve, hogy ezek az átlagértékek valóban léteznek.
Mivel az egér sarokkockából indul, így a feladat k meghatározása.
Szomszédos kockáknak azokat tekintjük, amelyek rendelkeznek közös lappal. Sarokkockából indulva egy lépés után mindenképpen élközépkockához jutunk, így:
k=1+l.(1)

Élközépkockából továbblépve 1/2 valószínűséggel jutunk ismét sarokkockába, illetve 1/2 valószínűséggel lapközépkockába:
l=1+12k+12m.(2)

Ha lapközépkockába kerülünk, onnan 4/5 valószínűséggel juthatunk élközépkockába:
m=1+45l.(3)

Az (1)-ben k-ra és (3)-ban m-re kapott kifejezést (2)-be helyettesítve kapjuk, hogy:
l=1+12(1+l)+12(1+45l),
amiből l=20 és így k=21.