Kezdőlap


Feladat:	B.4131	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lovas Lia Izabella , Török Csaba
Füzet:	2009/szeptember, 333 - 335. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Mértani sorozat, Kocka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/november: B.4131

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Nevezzük a $3 \times 3$ -as kocka sarokkockáit $A$ , az élek közepénél elhelyezkedő kockákat $B$ , a lapok középpontjainál levő kockákat $C$ kockáknak.
Ha az egér egy $A$ kockában van, akkor a következő lépéssel biztosan $B$ kockába kerül. $B$ kockából $1 / 2$ valószínűséggel $A$ , $1 / 2$ valószínűséggel pedig $C$ kockába kerül. $C$ kockából $4 / 5$ valószínűséggel lép $B$ kockába, $1 / 5$ valószínűséggel pedig megtalálja a sajtot.
Ahhoz, hogy az egér $C$ kockába kerüljön, biztosan páros sok lépésre van szükség, mivel ide $B$ kockából lehet csak lépni, és az egér az 1. lépésben $B$ kockába kerül, és innentől kezdve (amíg meg nem találja a sajtot) minden 2. lépésben $B$ kockába kerül. A $3 \times 3$ -as kocka közepébe $C$ kockából lehet lépni, így ehhez páratlan sok, és legalább 3 lépésre van szükség. Az 1. lépés után az egér $B$ kockában van. Vizsgáljuk meg, mekkora valószínűséggel találja meg 2 lépés múlva a sajtot. Először $C$ -be, majd a kocka középpontjába kell lépnie, a fentiek szerint ennek valószínűsége

\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10} . \end{matrix}

Ha az egér nem találta meg a sajtot, akkor 2 lépés után ismét

B

-ben van, ennek valószínűsége tehát

\begin{matrix} 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} . \end{matrix}

A lépésszám várható értéke ezek alapján:

\begin{matrix} 3 \cdot \frac{1}{10} + 5 \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{10} + 7 \cdot {(\frac{9}{10})}^{2} \cdot \frac{1}{10} + 9 \cdot {(\frac{9}{10})}^{3} \cdot \frac{1}{10} + ... = \\ = & \frac{1}{10} (3 + 5 \cdot \frac{9}{10} + 7 \cdot {(\frac{9}{10})}^{2} + ...) = \\ = & \frac{1}{10} [3 (1 + \frac{9}{10} + {(\frac{9}{10})}^{2} + ...) + 2 (\frac{9}{10} + {(\frac{9}{10})}^{2} + ...) + \\ + 2 ({(\frac{9}{10})}^{2} + {(\frac{9}{10})}^{3} + ...) + 2 ({(\frac{9}{10})}^{3} + {(\frac{9}{10})}^{4} + ...) + ...] \end{matrix}

q

hányadosú végtelen mértani sor összegképlete:

\frac{a_{1}}{1 - q}

. Így

\begin{matrix} 1 + \frac{9}{10} + {(\frac{9}{10})}^{2} + ... = \frac{1}{1 - \frac{9}{10}} = 10. \end{matrix}

Így a keresett várható érték:

\begin{matrix} \frac{1}{10} [3 \cdot 10 + 2 \cdot (\frac{9}{10} + {(\frac{9}{10})}^{2} + {(\frac{9}{10})}^{3} + ...) (1 + \frac{9}{10} + {(\frac{9}{10})}^{2} + ...)] = \\ = & \frac{1}{10} [3 \cdot 10 + 2 \cdot (\frac{9}{10} + {(\frac{9}{10})}^{2} + ...) \cdot 10] = \\ = & 3 + 2 (1 + \frac{9}{10} + {(\frac{9}{10})}^{2} + ...) \cdot \frac{9}{10} = 3 + 2 \cdot 10 \cdot \frac{9}{10} = 21. \end{matrix}

II. megoldás. A középső egységkockához való eljutásig szükséges átlagos lépésszámot jelölje

k

, ha sarokkockából;

l

, ha élközépkockából; és

m

, ha lapközépkockából indulunk ‐ feltéve, hogy ezek az átlagértékek valóban léteznek.
Mivel az egér sarokkockából indul, így a feladat

k

meghatározása.
Szomszédos kockáknak azokat tekintjük, amelyek rendelkeznek közös lappal. Sarokkockából indulva egy lépés után mindenképpen élközépkockához jutunk, így:

\begin{matrix} k = 1 + l . \end{matrix}

(1)

Élközépkockából továbblépve

1 / 2

valószínűséggel jutunk ismét sarokkockába, illetve

1 / 2

valószínűséggel lapközépkockába:

\begin{matrix} l = 1 + \frac{1}{2} k + \frac{1}{2} m . \end{matrix}

(2)

Ha lapközépkockába kerülünk, onnan

4 / 5

valószínűséggel juthatunk élközépkockába:

\begin{matrix} m = 1 + \frac{4}{5} l . \end{matrix}

(3)

Az (1)-ben

k

-ra és (3)-ban

m

-re kapott kifejezést (2)-be helyettesítve kapjuk, hogy:

\begin{matrix} l = 1 + \frac{1}{2} (1 + l) + \frac{1}{2} (1 + \frac{4}{5} l), \end{matrix}

amiből

l = 20

és így

k = 21