Kezdőlap


Feladat:	C.964	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Matyuska Péter
Füzet:	2009/szeptember, 329 - 330. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/november: C.964

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy esemény valószínűségét klasszikus valószínűség esetén a következő összefüggéssel számíthatjuk ki:

\begin{matrix} p = \frac{kedvező esetek száma}{összes eset száma} . \end{matrix}

Összes esetek száma:
Először 8 csapatból választunk ki 2 csapatot, majd 6 csapatból 2 csapatot, végül 4 csapatból 2 csapatot. Ezek a választások ‐ mivel a kiválasztás sorrendje most nem lényeges ‐ ismétlés nélküli kombinációk.
Ugyanazok a párosítások a 4 pár esetén több módon is létrejöhetnek. Tehát ahhoz, hogy az összes esetek számát megkapjuk, a kombinációk számát osztani kell az azonos párosítások különböző sorrendjeinek számával.

\begin{matrix} összes eset száma = \frac{(\binom{8}{2}) \cdot (\binom{6}{2}) \cdot (\binom{4}{2})}{4!} = 105. \end{matrix}

a)

Az angol csapatok nem játszanak egymás ellen. Az angol csapatokat pl. betűrendben leírjuk, és a nem angol csapatokat minden lehetséges sorrendben hozzájuk kapcsoljuk. Ezen esetek száma a nem angol csapatok ismétlés nélküli sorrendjeinek számával lesz egyenlő:

4!

Ezek alapján:

\begin{matrix} p (A) = \frac{4!}{\frac{(\binom{8}{2}) \cdot (\binom{6}{2}) \cdot (\binom{4}{2})}{4!}} = \frac{24}{105} \approx 0, 2286. \end{matrix}

b)

Az angol csapatok egymás ellen játszanak. A 4 csapatból kettőt választunk ki, és a 2 pár sorrendjeinek számával osztjuk, ugyanezt a nem angol csapatok esetén is, úgy mint az összes eset esetén:

\frac{(\binom{4}{2})}{2} \cdot \frac{(\binom{4}{2})}{2} = 9

. Így

\begin{matrix} p (B) = \frac{9}{\frac{(\binom{8}{2}) \cdot (\binom{6}{2}) \cdot (\binom{4}{2})}{4!}} \approx 0, 0857. \end{matrix}

c)

Két angol csapat egymás ellen, míg a másik kettő nem angol ellen játszik. A két angol csapatot 4 csapat közül választjuk ki. A másik két csapatnak az ellenfeleit a 4 nem angol közül választjuk ki, de ezeket az angolokhoz kétféleképpen párosíthatjuk:

(\binom{4}{2}) \cdot (\binom{4}{2}) \cdot 2 = 72

. Tehát

\begin{matrix} p (C) = \frac{72}{\frac{(\binom{8}{2}) \cdot (\binom{6}{2}) \cdot (\binom{4}{2})}{4!}} \approx 0, 6857. \end{matrix}

Megjegyzés. A harmadik esetben számolhatunk a

p (C) = 1 - p (A) - p (B)

összefüggéssel is.