Feladat: C.964 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Matyuska Péter 
Füzet: 2009/szeptember, 329 - 330. oldal  PDF file
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/november: C.964

A tavalyi labdarúgó Bajnokok Ligájában először fordult elő, hogy egy nemzetből, Angliából négy csapat (Arsenal, Chelsea, Liverpool és Manchester United) is a legjobb nyolc közé jutott. A legjobb nyolc csapatot vaksorsolással négy párba sorolták, minden párból a győztes jutott a legjobb négy közé.
a) Egyes angol szurkolók azt szerették volna, ha az angol csapatok elkerülik egymást, így lehetőség nyílt volna arra, hogy akár mind a négy csapat a legjobb négy közé jusson. Mekkora egy ilyen párosítás valószínűsége?
b) Más angol szurkolók azt szerették volna, ha két-két angol csapatot összesorsolnak egy párba, hiszen így két csapatuk biztosan bejuthatott volna a legjobb négy közé. Mekkora egy ilyen párosítás valószínűsége?
c) A sorsoláskor végül is két angol csapatot összesorsoltak, a másik kettő nem angol ellenfelet kapott. Mekkora egy ilyen párosítás valószínűsége?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy esemény valószínűségét klasszikus valószínűség esetén a következő összefüggéssel számíthatjuk ki:

p=kedvező esetek számaösszes eset száma.

Összes esetek száma:
Először 8 csapatból választunk ki 2 csapatot, majd 6 csapatból 2 csapatot, végül 4 csapatból 2 csapatot. Ezek a választások ‐ mivel a kiválasztás sorrendje most nem lényeges ‐ ismétlés nélküli kombinációk.
Ugyanazok a párosítások a 4 pár esetén több módon is létrejöhetnek. Tehát ahhoz, hogy az összes esetek számát megkapjuk, a kombinációk számát osztani kell az azonos párosítások különböző sorrendjeinek számával.
összes eset száma=(82)(62)(42)4!=105.

a) Az angol csapatok nem játszanak egymás ellen. Az angol csapatokat pl. betűrendben leírjuk, és a nem angol csapatokat minden lehetséges sorrendben hozzájuk kapcsoljuk. Ezen esetek száma a nem angol csapatok ismétlés nélküli sorrendjeinek számával lesz egyenlő: 4! Ezek alapján:
p(A)=4!(82)(62)(42)4!=241050,2286.

b) Az angol csapatok egymás ellen játszanak. A 4 csapatból kettőt választunk ki, és a 2 pár sorrendjeinek számával osztjuk, ugyanezt a nem angol csapatok esetén is, úgy mint az összes eset esetén: (42)2(42)2=9. Így
p(B)=9(82)(62)(42)4!0,0857.

c) Két angol csapat egymás ellen, míg a másik kettő nem angol ellen játszik. A két angol csapatot 4 csapat közül választjuk ki. A másik két csapatnak az ellenfeleit a 4 nem angol közül választjuk ki, de ezeket az angolokhoz kétféleképpen párosíthatjuk: (42)(42)2=72. Tehát
p(C)=72(82)(62)(42)4!0,6857.

 
Megjegyzés. A harmadik esetben számolhatunk a p(C)=1-p(A)-p(B) összefüggéssel is.