Feladat: 4133. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Deák Zsolt ,  Fonai Dániel ,  Földes Imre ,  Iván Dávid ,  Jéhn Zoltán ,  Lovas Lia Izabella ,  Vuchetich Bálint 
Füzet: 2009/május, 311 - 313. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Erők forgatónyomatéka, Gördülés (Merev testek síkmozgása)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/január: 4133. fizika feladat

Legfeljebb mekkora hajlásszögű lejtőn tudunk elhelyezni egy ellipszis keresztmetszetű hengert egyensúlyi helyzetben, ha a súrlódás elegendően nagy? Az ellipszis fél nagytengelye a, fél kistengelye b.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha a súrlódás elegendően nagy, az erők egyensúlyának feltétele biztosan teljesülhet, így elegendő a forgatónyomatékok egyensúlyát vizsgálni.

 
 

Használjuk az ábrán látható jelöléseket! A lejtő által az M tömegű hengerre kifejtett nyomóerő
K=Mgcosα,
a súrlódási erő
S=Mgsinα,
így az erők O pontra vonatkoztatott forgatónyomatékának egyensúlyi feltétele:
KOEsin(90-ε-φ)=SOEsin(ε+φ).
(Kihasználtuk, hogy az OEP háromszög E-nél levő külső szöge a másik két belső szög, ε és φ összege.) Az egyensúlyi feltétel MgOE-vel való egyszerűsítés után így írható:
cosαcos(ε+φ)=sinαsin(ε+φ),azaztg(ε+φ)=1tgα.
(Ez az összefüggés úgy is megkapható, hogy felírjuk az erők eredő forgatónyomatékát az E pontra vonatkoztatva. Ez az eredő akkor lesz nulla, ha az Mg gravitációs erő hatásvonala átmegy az E ponton, tehát OE függőleges, így a K nyomóerő α szöget zár be a függőlegessel, azaz φ+ε=90-α.)
Az ábrán látható koordináta-rendszerben az ellipszishez az E pontban húzott érintő meredeksége:
m=ΔyΔx=-b2a2xy,
ahol x és y az E pont koordinátái a fenti koordináta-rendszerben. Ez a képlet megtalálható pl. a Függvénytáblázat 74. oldalán, vagy levezethető az ellipszis egyenletéből, miszerint
x2a2+y2b2=(x+Δx)2a2+(y+Δy)2b2=1.

Mivel m=-tgε, másrészt
xy=1tgφ,
fennáll a
tgε=b2a21tgφ
összefüggés. A forgatónyomatékok egyensúlyának feltétele ezek után
1tgα=tg(ε+φ)=tgε+tgφ1-tgεtgφ=b2a21tgφ+tgφ1-b2a21tgφtgφ==11-b2a2(tgφ+b2a21tgφ)
alakba írható. Alkalmazzuk a zárójelben álló kifejezésre a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenséget:
tgφ+b2a21tgφ2tgφb2a21tgφ=2ba,
ahonnan a lejtő szögére az
1tgα11-b2a22ba=2baa2-b2
feltételt kapjuk. Az ellipszishenger tehát legfeljebb
α=arctga2-b22ab
hajlásszögű lejtőn maradhat egyensúlyban.
 
II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseit követve abból a feltételből, hogy egyensúlyban a henger tömegközéppontja, valamint a henger és a lejtő érintkezési pontja ugyanazon a függőleges egyenesen kell elhelyezkedjék, eljuthatunk a
1tgα=11-b2a2(tgφ+b2a21tgφ)
egyenletig. Ez tgφ-re nézve másodfokú egyenlet:
tg2φ-11-b2a21tgαtgφ+b2a2=0,
amelynek (nem túl meredek lejtő esetén) 2 gyöke van. Ezek egyike a henger stabil, a másik pedig az instabil egyensúly helyzetét adja meg.
Ha a lejtő hajlásszögét növeljük, a két egyensúlyi helyzetnek megfelelő φ1,2 szög közeledik egymáshoz, egy bizonyos α0 szögnél meredekebb lejtők esetén pedig egyáltalán nem találunk egyensúlyi megoldást. A kritikus hajlásszöget az a feltétel határozza meg, hogy a másodfokú egyenletnek már csak 1 megoldása legyen. Ez akkor következik be, amikor az egyenlet diszkriminánsa nullává válik, vagyis amikor teljesül
(11-b2a21tgα0)2=4b2a2,azaztgα0=a2-b22ab.