Kezdőlap


Feladat:	4133. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Deák Zsolt , Fonai Dániel , Földes Imre , Iván Dávid , Jéhn Zoltán , Lovas Lia Izabella , Vuchetich Bálint
Füzet:	2009/május, 311 - 313. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erők forgatónyomatéka, Gördülés (Merev testek síkmozgása)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/január: 4133. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha a súrlódás elegendően nagy, az erők egyensúlyának feltétele biztosan teljesülhet, így elegendő a forgatónyomatékok egyensúlyát vizsgálni.

Használjuk az ábrán látható jelöléseket! A lejtő által az

M

tömegű hengerre kifejtett nyomóerő

\begin{matrix} K = M g cos α, \end{matrix}

a súrlódási erő

\begin{matrix} S = M g sin α, \end{matrix}

így az erők

O

pontra vonatkoztatott forgatónyomatékának egyensúlyi feltétele:

\begin{matrix} K \cdot O E \cdot sin (90^{\circ} - ε - φ) = S \cdot O E \cdot sin (ε + φ) . \end{matrix}

(Kihasználtuk, hogy az

O E P

háromszög

E

-nél levő külső szöge a másik két belső szög,

ε

és

φ

összege.) Az egyensúlyi feltétel

M g \cdot O E

-vel való egyszerűsítés után így írható:

\begin{matrix} cos α \cdot cos (ε + φ) = sin α \cdot sin (ε + φ), azaz tg (ε + φ) = \frac{1}{tg α} . \end{matrix}

(Ez az összefüggés úgy is megkapható, hogy felírjuk az erők eredő forgatónyomatékát az

E

pontra vonatkoztatva. Ez az eredő akkor lesz nulla, ha az

M g

gravitációs erő hatásvonala átmegy az

E

ponton, tehát

O E

függőleges, így a

K

nyomóerő

α

szöget zár be a függőlegessel, azaz

φ + ε = 90^{\circ} - α

.)
Az ábrán látható koordináta-rendszerben az ellipszishez az

E

pontban húzott érintő meredeksége:

\begin{matrix} m = \frac{Δ y}{Δ x} = - \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{x}{y}, \end{matrix}

ahol

x

és

y

E

pont koordinátái a fenti koordináta-rendszerben. Ez a képlet megtalálható pl. a Függvénytáblázat 74. oldalán, vagy levezethető az ellipszis egyenletéből, miszerint

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{{(x + Δ x)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y + Δ y)}^{2}}{b^{2}} = 1. \end{matrix}

Mivel

m = - tg ε

, másrészt

\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{1}{tg φ}, \end{matrix}

fennáll a

\begin{matrix} tg ε = \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{tg φ} \end{matrix}

összefüggés. A forgatónyomatékok egyensúlyának feltétele ezek után

\begin{matrix} \frac{1}{tg α} & = tg (ε + φ) = \frac{tg ε + tg φ}{1 - tg ε \cdot tg φ} = \frac{\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{tg φ} + tg φ}{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{tg φ} \cdot tg φ} = \\ = \frac{1}{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} (tg φ + \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{tg φ}) \end{matrix}

alakba írható. Alkalmazzuk a zárójelben álló kifejezésre a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} tg φ + \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{tg φ} \geq 2 \sqrt[]{tg φ \cdot \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{tg φ}} = 2 \frac{b}{a}, \end{matrix}

ahonnan a lejtő szögére az

\begin{matrix} \frac{1}{tg α} \geq \frac{1}{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} \cdot 2 \cdot \frac{b}{a} = \frac{2 b a}{a^{2} - b^{2}} \end{matrix}

feltételt kapjuk. Az ellipszishenger tehát legfeljebb

\begin{matrix} α = arctg \frac{a^{2} - b^{2}}{2 a b} \end{matrix}

hajlásszögű lejtőn maradhat egyensúlyban.

II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseit követve abból a feltételből, hogy egyensúlyban a henger tömegközéppontja, valamint a henger és a lejtő érintkezési pontja ugyanazon a függőleges egyenesen kell elhelyezkedjék, eljuthatunk a

\begin{matrix} \frac{1}{tg α} = \frac{1}{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} (tg φ + \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{tg φ}) \end{matrix}

egyenletig. Ez

tg φ

-re nézve másodfokú egyenlet:

\begin{matrix} {tg}^{2} φ - \frac{1}{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} \frac{1}{tg α} \cdot tg φ + \frac{b^{2}}{a^{2}} = 0, \end{matrix}

amelynek (nem túl meredek lejtő esetén) 2 gyöke van. Ezek egyike a henger stabil, a másik pedig az instabil egyensúly helyzetét adja meg.
Ha a lejtő hajlásszögét növeljük, a két egyensúlyi helyzetnek megfelelő

φ_{1,2}

szög közeledik egymáshoz, egy bizonyos

α_{0}

szögnél meredekebb lejtők esetén pedig egyáltalán nem találunk egyensúlyi megoldást. A kritikus hajlásszöget az a feltétel határozza meg, hogy a másodfokú egyenletnek már csak 1 megoldása legyen. Ez akkor következik be, amikor az egyenlet diszkriminánsa nullává válik, vagyis amikor teljesül

\begin{matrix} {(\frac{1}{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} \cdot \frac{1}{tg α_{0}})}^{2} = \frac{4 b^{2}}{a^{2}}, azaz tg α_{0} = \frac{a^{2} - b^{2}}{2 a b} . \end{matrix}