A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ha a súrlódás elegendően nagy, az erők egyensúlyának feltétele biztosan teljesülhet, így elegendő a forgatónyomatékok egyensúlyát vizsgálni.
Használjuk az ábrán látható jelöléseket! A lejtő által az tömegű hengerre kifejtett nyomóerő a súrlódási erő így az erők pontra vonatkoztatott forgatónyomatékának egyensúlyi feltétele: | | (Kihasználtuk, hogy az háromszög -nél levő külső szöge a másik két belső szög, és összege.) Az egyensúlyi feltétel -vel való egyszerűsítés után így írható: | | (Ez az összefüggés úgy is megkapható, hogy felírjuk az erők eredő forgatónyomatékát az pontra vonatkoztatva. Ez az eredő akkor lesz nulla, ha az gravitációs erő hatásvonala átmegy az ponton, tehát függőleges, így a nyomóerő szöget zár be a függőlegessel, azaz .) Az ábrán látható koordináta-rendszerben az ellipszishez az pontban húzott érintő meredeksége: ahol és az pont koordinátái a fenti koordináta-rendszerben. Ez a képlet megtalálható pl. a Függvénytáblázat 74. oldalán, vagy levezethető az ellipszis egyenletéből, miszerint | |
Mivel , másrészt fennáll a összefüggés. A forgatónyomatékok egyensúlyának feltétele ezek után
alakba írható. Alkalmazzuk a zárójelben álló kifejezésre a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenséget: | | ahonnan a lejtő szögére az | | feltételt kapjuk. Az ellipszishenger tehát legfeljebb hajlásszögű lejtőn maradhat egyensúlyban.
II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseit követve abból a feltételből, hogy egyensúlyban a henger tömegközéppontja, valamint a henger és a lejtő érintkezési pontja ugyanazon a függőleges egyenesen kell elhelyezkedjék, eljuthatunk a | | egyenletig. Ez -re nézve másodfokú egyenlet: | | amelynek (nem túl meredek lejtő esetén) 2 gyöke van. Ezek egyike a henger stabil, a másik pedig az instabil egyensúly helyzetét adja meg. Ha a lejtő hajlásszögét növeljük, a két egyensúlyi helyzetnek megfelelő szög közeledik egymáshoz, egy bizonyos szögnél meredekebb lejtők esetén pedig egyáltalán nem találunk egyensúlyi megoldást. A kritikus hajlásszöget az a feltétel határozza meg, hogy a másodfokú egyenletnek már csak 1 megoldása legyen. Ez akkor következik be, amikor az egyenlet diszkriminánsa nullává válik, vagyis amikor teljesül | |
|
|