Feladat: B.4088 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kiss Melinda Flóra ,  Kiss Réka 
Füzet: 2009/május, 285 - 286. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Magasságvonal, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Vetítések, Magasságpont, Középpontos tükrözés, Helyvektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/április: B.4088

Az AB1B2 hegyesszögű háromszög B1B2 oldalának belső pontja P. Jelöljük Q-val a P pontnak az A-ra vonatkozó tükörképét. Jelölje Di a P pontnak az ABi szakaszra eső merőleges vetületét, a DiBi szakasz felezőpontja Fi. Bizonyítsuk be, hogy ha QD1 merőleges PF1-re, akkor QD2 merőleges PF2-re.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy QDi pontosan akkor merőleges PFi-re, ha PA merőleges B1B2-re. Ebből a feladat állítása nyilván következik.
Az AB1B2 háromszög hegyesszögű, ezért Di az ABi szakasz belső pontja. Legyen P-nek az Fi-re vonatkozó tükörképe Gi. Mivel Fi felezi a BiDi szakaszt, azért a PBiGiDi négyszög középpontosan szimmetrikus, vagyis paralelogramma. Tehát GiDi párhuzamos PBi-vel, s így B1B2-vel is. Nagyítsuk a PAFi háromszöget P-ből kétszeresére. A nagyításnál A képe Q, Fi képe Gi, Di képe pedig az a Hi pont, amely a P-ből QGi-re állított merőleges talppontja (lásd ábra).

 
 

A PQGi háromszögben tehát PHi magasságvonal. Vizsgáljuk meg, hogy az erre illeszkedő Di pont mikor lesz a háromszög magasságpontja. Ez pontosan akkor következik be, ha a háromszögnek még egy magasságvonala átmegy Di-n. (Ekkor persze mindhárom magasságvonal átmegy Di-n.) A QDi egyenes pontosan akkor magasságvonal, ha QDi merőleges PGi-re, azaz PFi-re, a GiDi egyenes pedig pontosan akkor magasságvonal, ha GiDi merőleges PQ-ra, azaz ha a GiDi-vel párhuzamos B1B2 merőleges AP-re. Vagyis QDi pontosan akkor merőleges PFi-re, ha PA merőleges B1B2-re, mert mindkettő akkor következik be, ha Di a PQGi háromszög magasságpontja.
Ezzel a feladat állítását beláttuk.
 
II. megoldás. Állításunk bizonyításához indítsunk A-ból helyvektorokat és jelöljük ezeket a megfelelő kisbetűkkel, azaz legyen tetszőleges X pont esetén AX=x. Ekkor Q és Fi definíciója miatt q=-p és 2fi=bi+di. Mivel PDi merőleges ABi-re, s így ADi-re is, a megfelelő vektorok skaláris szorzata 0, azaz (p-di)bi=0 és (p-di)di=0. Vagyis
pbi=dibiéspdi=di2.(1)

A QDi szakasz pontosan akkor merőleges PFi-re, ha
(di-q)(2p-2fi)=0,
amibe behelyettesítve fi-t és q-t, valamint felhasználva az (1) egyenlőségeket kapjuk, hogy
(di+p)(2p-bi-di)=0,2pdi-dibi-di2+2p2-pbi-pdi=0,(pdi-di2)-(bidi+pbi)+2p2=0,
azaz 2p2=2pbi vagyis p(p-bi)=0.
Mivel sem p sem p-bi nem nullvektor, ez pontosan akkor teljesül, ha a két vektor merőleges egymásra, azaz ha AP merőleges PBi-re. Tehát i=1,2-re vagy egyszerre merőleges mindkét pár, vagy egyik pár sem merőleges. Ez épp a bizonyítandó állítás. (A bizonyítás során nem használtuk ki, hogy az AB1B2 háromszög hegyesszögű.)