A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Megmutatjuk, hogy pontosan akkor merőleges -re, ha merőleges -re. Ebből a feladat állítása nyilván következik. Az háromszög hegyesszögű, ezért az szakasz belső pontja. Legyen -nek az -re vonatkozó tükörképe Mivel felezi a szakaszt, azért a négyszög középpontosan szimmetrikus, vagyis paralelogramma. Tehát párhuzamos -vel, s így -vel is. Nagyítsuk a háromszöget -ből kétszeresére. A nagyításnál képe képe , képe pedig az a pont, amely a -ből -re állított merőleges talppontja (lásd ábra).
A háromszögben tehát magasságvonal. Vizsgáljuk meg, hogy az erre illeszkedő pont mikor lesz a háromszög magasságpontja. Ez pontosan akkor következik be, ha a háromszögnek még egy magasságvonala átmegy -n. (Ekkor persze mindhárom magasságvonal átmegy -n.) A egyenes pontosan akkor magasságvonal, ha merőleges -re, azaz -re, a egyenes pedig pontosan akkor magasságvonal, ha merőleges -ra, azaz ha a -vel párhuzamos merőleges -re. Vagyis pontosan akkor merőleges -re, ha merőleges -re, mert mindkettő akkor következik be, ha a háromszög magasságpontja. Ezzel a feladat állítását beláttuk.
II. megoldás. Állításunk bizonyításához indítsunk -ból helyvektorokat és jelöljük ezeket a megfelelő kisbetűkkel, azaz legyen tetszőleges pont esetén . Ekkor és definíciója miatt és . Mivel merőleges -re, s így -re is, a megfelelő vektorok skaláris szorzata 0, azaz és . Vagyis A szakasz pontosan akkor merőleges -re, ha amibe behelyettesítve -t és -t, valamint felhasználva az (1) egyenlőségeket kapjuk, hogy
azaz vagyis . Mivel sem sem nem nullvektor, ez pontosan akkor teljesül, ha a két vektor merőleges egymásra, azaz ha merőleges -re. Tehát -re vagy egyszerre merőleges mindkét pár, vagy egyik pár sem merőleges. Ez épp a bizonyítandó állítás. (A bizonyítás során nem használtuk ki, hogy az háromszög hegyesszögű.) |