Feladat: B.4111 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágoston Tamás ,  Blázsik Zoltán ,  Bodor Bertalan ,  Csizmadia Luca ,  Csuka Barna ,  Éles András ,  Fonyó Dávid ,  Gévay Gábor ,  Horowitz Gábor ,  Huszár Kristóf ,  Kispéter Tamás ,  Lovas Lia Izabella ,  Márki Róbert ,  Mester Márton ,  Nagy Donát ,  Réti Dávid ,  Varga László ,  Vuchetich Bálint ,  Weisz Ágoston 
Füzet: 2009/április, 224 - 225. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egész együtthatós polinomok, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/szeptember: B.4111

Legyen n pozitív egész szám, a1,a2,...,an pedig páronként különböző egész számok. Igazoljuk, hogy az (x-a1)(x-a2)...(x-an)-1 polinom nem áll elő két legalább elsőfokú egész együtthatós polinom szorzataként.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben léteznek olyan legalább elsőfokú egész együtthatós p és q polinomok, amelyekre

f(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an)-1=p(x)q(x).

Ekkor minden 1in esetén p(ai)q(ai)=f(ai)=-1. Mivel p(ai) és q(ai) egész számok ez azt jelenti, hogy közülük az egyik 1-gyel, a másik pedig -1-gyel egyenlő. Mindenképpen igaz tehát, hogy p(ai)+q(ai)=0. Mivel p és q legalább elsőfokú és a szorzatuk f, ami n-edfokú, azért mindegyikük foka legfeljebb n-1; így a p+q olyan legfeljebb (n-1)-edfokú polinom, amelynek van n darab különböző gyöke: a1,a2,...,an. Ez csak úgy lehet, hogy p+q=0, vagyis q=-p, tehát f=-p2. Ez azonban nem lehetséges, hiszen f főegyütthatója 1, a -p2 polinomé pedig nyilván negatív.
 
Megjegyzések. 1. Eljutva a fenti gondolatmenetben odáig, hogy minden 1in-re a p(ai) és q(ai) egyike 1, a másika pedig -1, a bizonyítás folytatására egy másik út is kínálkozik. Mivel egy k1-edfokú polinom semmilyen értéket sem vehet föl k-nál többször, és a p és q fokának összege n, mindketten ugyanannyiszor veszik fel az 1 és a -1 értéket, és ez a szám egyben mindkettőjük közös foka, n/2. Ha például a p(x) polinom éppen az a1,a2,...,ak helyeken vesz fel 1-et (és az ak+1,ak+2,...,a2k helyeken -1-et), akkor az előbbi feltétel alapján
p(x)-1=c(x-a1)(x-a2)...(x-ak)
alakú, alkalmas c egésszel. Viszont a p(aj+k)=-1 (1jk) feltétel szerint
p(x)+1=d(x-ak+1)(x-ak+2)...(x-a2k),
alkalmas d egésszel. A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy egyrészt nyilván c=d (a p polinom főegyütthatója), másrészt
1+c(x-a1)(x-a2)...(x-ak)=-1+c(x-ak+1)(x-ak+2)...(x-a2k).
A sors fintora, hogy a kapott azonosság bizonyos esetekben nem vezet ellentmondáshoz. A feladat alábbiakban tárgyalt változatában viszont éppen ezeket a kivételes eseteket kell meghatározni.
2. A g(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an)+1 polinom nem mindig felbonthatatlan. A közölt megoldáshoz hasonlóan azonban meghatározható, hogy pontosan mely esetekben bomlik föl a g két legalább elsőfokú egész együtthatós polinom szorzatára. Két ilyen eset van: 1. n=2, {a1,a2}={a,a+2}, illetve 2. n=4, {a1,a2,a3,a4}={a,a+1,a+2,a+3}, ahol a tetszőleges egész szám. Az első esetben
(x-a)(x-a-2)+1=((x-a-1)+1)((x-a-1)-1)+1=(x-a-1)2,
a második esetben pedig
g(x)=((x-a-1)(x-a-2))((x-a)(x-a-3))+1==((x-a-1)(x-a-2)-1)((x-a)(x-a-3)+1)==(x2-(2a+3)x+(a2+3a+1))2.