Kezdőlap


Feladat:	B.4111	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston Tamás , Blázsik Zoltán , Bodor Bertalan , Csizmadia Luca , Csuka Barna , Éles András , Fonyó Dávid , Gévay Gábor , Horowitz Gábor , Huszár Kristóf , Kispéter Tamás , Lovas Lia Izabella , Márki Róbert , Mester Márton , Nagy Donát , Réti Dávid , Varga László , Vuchetich Bálint , Weisz Ágoston
Füzet:	2009/április, 224 - 225. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész együtthatós polinomok, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/szeptember: B.4111

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben léteznek olyan legalább elsőfokú egész együtthatós $p$ és $q$ polinomok, amelyekre

\begin{matrix} f (x) = (x - a_{1}) (x - a_{2}) ... (x - a_{n}) - 1 = p (x) \cdot q (x) . \end{matrix}

Ekkor minden

1 \leq i \leq n

esetén

p (a_{i}) \cdot q (a_{i}) = f (a_{i}) = - 1

. Mivel

p (a_{i})

és

q (a_{i})

egész számok ez azt jelenti, hogy közülük az egyik

1

-gyel, a másik pedig

- 1

-gyel egyenlő. Mindenképpen igaz tehát, hogy

p (a_{i}) + q (a_{i}) = 0

. Mivel

p

és

q

legalább elsőfokú és a szorzatuk

f

, ami

n

-edfokú, azért mindegyikük foka legfeljebb

n - 1

; így a

p + q

olyan legfeljebb

(n - 1)

-edfokú polinom, amelynek van

n

darab különböző gyöke:

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

. Ez csak úgy lehet, hogy

p + q = 0

, vagyis

q = - p

, tehát

f = - p^{2}

. Ez azonban nem lehetséges, hiszen

f

főegyütthatója 1, a

- p^{2}

polinomé pedig nyilván negatív.

Megjegyzések. 1. Eljutva a fenti gondolatmenetben odáig, hogy minden

1 \leq i \leq n

-re a

p (a_{i})

és

q (a_{i})

egyike

1

, a másika pedig

- 1

, a bizonyítás folytatására egy másik út is kínálkozik. Mivel egy

k \geq 1

-edfokú polinom semmilyen értéket sem vehet föl

k

-nál többször, és a

p

és

q

fokának összege

n

, mindketten ugyanannyiszor veszik fel az

1

és a

- 1

értéket, és ez a szám egyben mindkettőjük közös foka,

n / 2

. Ha például a

p (x)

polinom éppen az

a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}

helyeken vesz fel 1-et (és az

a_{k + 1}, a_{k + 2}, ..., a_{2 k}

helyeken

- 1

-et), akkor az előbbi feltétel alapján

\begin{matrix} p (x) - 1 = c (x - a_{1}) (x - a_{2}) ... (x - a_{k}) \end{matrix}

alakú, alkalmas

c

egésszel. Viszont a

p (a_{j + k}) = - 1

(

1 \leq j \leq k

) feltétel szerint

\begin{matrix} p (x) + 1 = d (x - a_{k + 1}) (x - a_{k + 2}) ... (x - a_{2 k}), \end{matrix}

alkalmas

d

egésszel. A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy egyrészt nyilván

c = d

p

polinom főegyütthatója), másrészt

\begin{matrix} 1 + c (x - a_{1}) (x - a_{2}) ... (x - a_{k}) = - 1 + c (x - a_{k + 1}) (x - a_{k + 2}) ... (x - a_{2 k}) . \end{matrix}

A sors fintora, hogy a kapott azonosság bizonyos esetekben nem vezet ellentmondáshoz. A feladat alábbiakban tárgyalt változatában viszont éppen ezeket a kivételes eseteket kell meghatározni.
2. A

g (x) = (x - a_{1}) (x - a_{2}) ... (x - a_{n}) + 1

polinom nem mindig felbonthatatlan. A közölt megoldáshoz hasonlóan azonban meghatározható, hogy pontosan mely esetekben bomlik föl a

g

két legalább elsőfokú egész együtthatós polinom szorzatára. Két ilyen eset van: 1.

n = 2

{a_{1}, a_{2}} = {a, a + 2}

, illetve 2.

n = 4

{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}} = {a, a + 1, a + 2, a + 3}

, ahol

a

tetszőleges egész szám. Az első esetben

\begin{matrix} (x - a) (x - a - 2) + 1 = ((x - a - 1) + 1) ((x - a - 1) - 1) + 1 = {(x - a - 1)}^{2}, \end{matrix}

a második esetben pedig

\begin{matrix} g (x) & = ((x - a - 1) (x - a - 2)) ((x - a) (x - a - 3)) + 1 = \\ = ((x - a - 1) (x - a - 2) - 1) ((x - a) (x - a - 3) + 1) = \\ = {(x^{2} - (2 a + 3) x + (a^{2} + 3 a + 1))}^{2} . \end{matrix}