|
Feladat: |
B.4111 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Tamás , Blázsik Zoltán , Bodor Bertalan , Csizmadia Luca , Csuka Barna , Éles András , Fonyó Dávid , Gévay Gábor , Horowitz Gábor , Huszár Kristóf , Kispéter Tamás , Lovas Lia Izabella , Márki Róbert , Mester Márton , Nagy Donát , Réti Dávid , Varga László , Vuchetich Bálint , Weisz Ágoston |
Füzet: |
2009/április,
224 - 225. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egész együtthatós polinomok, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2008/szeptember: B.4111 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben léteznek olyan legalább elsőfokú egész együtthatós és polinomok, amelyekre | |
Ekkor minden esetén . Mivel és egész számok ez azt jelenti, hogy közülük az egyik -gyel, a másik pedig -gyel egyenlő. Mindenképpen igaz tehát, hogy . Mivel és legalább elsőfokú és a szorzatuk , ami -edfokú, azért mindegyikük foka legfeljebb ; így a olyan legfeljebb -edfokú polinom, amelynek van darab különböző gyöke: . Ez csak úgy lehet, hogy , vagyis , tehát . Ez azonban nem lehetséges, hiszen főegyütthatója 1, a polinomé pedig nyilván negatív.
Megjegyzések. 1. Eljutva a fenti gondolatmenetben odáig, hogy minden -re a és egyike , a másika pedig , a bizonyítás folytatására egy másik út is kínálkozik. Mivel egy -edfokú polinom semmilyen értéket sem vehet föl -nál többször, és a és fokának összege , mindketten ugyanannyiszor veszik fel az és a értéket, és ez a szám egyben mindkettőjük közös foka, . Ha például a polinom éppen az helyeken vesz fel 1-et (és az helyeken -et), akkor az előbbi feltétel alapján | | alakú, alkalmas egésszel. Viszont a () feltétel szerint | | alkalmas egésszel. A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy egyrészt nyilván (a polinom főegyütthatója), másrészt | | A sors fintora, hogy a kapott azonosság bizonyos esetekben nem vezet ellentmondáshoz. A feladat alábbiakban tárgyalt változatában viszont éppen ezeket a kivételes eseteket kell meghatározni. 2. A polinom nem mindig felbonthatatlan. A közölt megoldáshoz hasonlóan azonban meghatározható, hogy pontosan mely esetekben bomlik föl a két legalább elsőfokú egész együtthatós polinom szorzatára. Két ilyen eset van: 1. , , illetve 2. , , ahol tetszőleges egész szám. Az első esetben | | a második esetben pedig
|
|