Kezdőlap


Feladat:	C.948	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Matyuska Péter
Füzet:	2009/április, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Háromszög területe, Derékszögű háromszögek geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Négyzetek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: C.948

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az első derékszögű háromszög oldalai: $a$ , $b$ , $c$ , ahol $c$ az átfogó.
A második derékszögű háromszög oldalai: $a' = a - 5$ , $b' = b + 5$ , $c'$ , ahol $c'$ az átfogó.
A területük:

\begin{matrix} T_{1} & = \frac{a b}{2}, & (1) \\ T_{2} & = \frac{a' b'}{2} = \frac{(a - 5) (b + 5)}{2} = T_{1} + 5 . & (2) \end{matrix}

(1) és (2) alapján:

\begin{matrix} \frac{(a - 5) (b + 5)}{2} = \frac{a b}{2} + 5, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} a - b = 7. \end{matrix}

(3)

Mindkét háromszögben a Pitagorasz-tétel segítségével kaphatjuk meg az átfogóra rajzolt négyzetek területét. Az első háromszögnél:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2} . \end{matrix}

(4)

A másik háromszögnél:

{(a - 5)}^{2} + {(b + 5)}^{2} = c'^{2}

. Ezt így is írhatjuk:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - 10 (a - b) + 50 = c'^{2} . \end{matrix}

(5)

Behelyettesítve az (5)-be (3)-at és (4)-et:

\begin{matrix} c^{2} - 10 \cdot 7 + 50 = c'^{2}, c^{2} - 20 = c'^{2} . \end{matrix}

Tehát az átfogóra rajzolt négyzet területe az eredetihez képest 20 területegységgel csökken.