Feladat: C.948 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Matyuska Péter 
Füzet: 2009/április, 208 - 209. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Háromszög területe, Derékszögű háromszögek geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Négyzetek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/május: C.948

Ha egy derékszögű háromszög egyik befogóját 5-tel növeljük, a másik befogóját pedig 5-tel csökkentjük, akkor a területe 5-tel nő. Hogyan változik eközben az átfogójára rajzolt négyzet területe?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az első derékszögű háromszög oldalai: a, b, c, ahol c az átfogó.
A második derékszögű háromszög oldalai: a'=a-5, b'=b+5, c', ahol c' az átfogó.
A területük:

T1=ab2,(1)T2=a'b'2=(a-5)(b+5)2=T1+5.(2)
(1) és (2) alapján:
(a-5)(b+5)2=ab2+5,
amiből
a-b=7.(3)

Mindkét háromszögben a Pitagorasz-tétel segítségével kaphatjuk meg az átfogóra rajzolt négyzetek területét. Az első háromszögnél:
a2+b2=c2.(4)
A másik háromszögnél: (a-5)2+(b+5)2=c'2. Ezt így is írhatjuk:
a2+b2-10(a-b)+50=c'2.(5)
Behelyettesítve az (5)-be (3)-at és (4)-et:
c2-107+50=c'2,c2-20=c'2.
Tehát az átfogóra rajzolt négyzet területe az eredetihez képest 20 területegységgel csökken.