Feladat: 4082. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Pálovics Péter 
Füzet: 2009/március, 180 - 181. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Relativisztikus impulzus, Elektron (mint elemi részecske), Foton (mint elemi részecske)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/május: 4082. fizika feladat

,,Nyugalomban'' lévő elektronokat olyan fotonok bombáznak, melyeknek energiája megegyezik az elektron nyugalmi energiájával. Legfeljebb mekkora lehet a ,,meglökött'' elektron sebessége?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A foton és az elektron ütközésénél megmarad az energia is és a lendület is, de ezeket a mennyiségeket a relativisztikus képletekből kell kiszámítanunk.
Az elektron akkor kapja a legnagyobb lendületet (akkor lesz a legnagyobb a sebessége), ha az ütközés után a foton az eredeti irányával éppen ellentétesen mozog tovább. (Ez az állítás, amely szemléletünk szerint igaznak tűnik, részletes számítással igazolható; ezt a számítást azonban itt most nem végezzük el.)
Az m nyugalmi tömegű álló elektronokat bombázó f frekvenciájú, λ hullámhosszúságú fotonok energiája a feladat szövege szerint

E=hf=mc2,
a fotonok lendülete pedig
p=hλ=hfc=mc.
(Általánosan érvényes a fotonokra az E=pc összefüggés, c a fénysebesség vákuumban.) Az álló elektronok energiája mc2, lendületük nulla. Innen következik, hogy a két részecske összes energiája 2mc2, összes lendülete pedig mc.
Ha az ütközés után a visszafelé haladó foton energiája Ef, lendülete pedig pf=Ef/c, a meglökött elektron megfelelő adatai Ee, illetve pe, akkor a megmaradási törvények értelmében
Ef+Ee=2mc2,pe-Efc=mc.
(A második képletben kifejeztük a foton lendületét az energiájával, és a negatív előjellel azt vettük figyelembe, hogy mozgásiránya a bejövő fotonéval ellentétes.) A második egyenlet c-szeresét az elsőhöz hozzáadva Ef kiküszöbölhető:
cpe+Ee=3mc2.

Ha a meglökött elektron sebessége v, energiája és lendülete a relativisztikus képletek szerint
Ee=mc21-v2c2,pe=mv1-v2c2.
Ezeket az összefüggéseket a fentebbi egyenletbe helyettesítve
mvc1-v2c2+mc21-v2c2=3mc2
adódik, melyből algebrai átalakításokkal kapjuk, hogy
v+c1-v2c2=3c,c+vc-v=3,
tehát
c+vc-v=9,
vagyis a meglökött elektron legnagyobb sebessége
v=45c=2,4108ms.