Kezdőlap


Feladat:	4082. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pálovics Péter
Füzet:	2009/március, 180 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Relativisztikus impulzus, Elektron (mint elemi részecske), Foton (mint elemi részecske)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: 4082. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A foton és az elektron ütközésénél megmarad az energia is és a lendület is, de ezeket a mennyiségeket a relativisztikus képletekből kell kiszámítanunk.
Az elektron akkor kapja a legnagyobb lendületet (akkor lesz a legnagyobb a sebessége), ha az ütközés után a foton az eredeti irányával éppen ellentétesen mozog tovább. (Ez az állítás, amely szemléletünk szerint igaznak tűnik, részletes számítással igazolható; ezt a számítást azonban itt most nem végezzük el.)
Az $m$ nyugalmi tömegű álló elektronokat bombázó $f$ frekvenciájú, $λ$ hullámhosszúságú fotonok energiája a feladat szövege szerint

\begin{matrix} E = h f = m c^{2}, \end{matrix}

a fotonok lendülete pedig

\begin{matrix} p = \frac{h}{λ} = \frac{h f}{c} = m c . \end{matrix}

(Általánosan érvényes a fotonokra az

E = p c

összefüggés,

c

a fénysebesség vákuumban.) Az álló elektronok energiája

m c^{2}

, lendületük nulla. Innen következik, hogy a két részecske összes energiája

2 m c^{2}

, összes lendülete pedig

m c

.
Ha az ütközés után a visszafelé haladó foton energiája

E_{f}

, lendülete pedig

p_{f} = E_{f} / c

, a meglökött elektron megfelelő adatai

E_{e}

, illetve

p_{e}

, akkor a megmaradási törvények értelmében

\begin{matrix} E_{f} + E_{e} & = 2 m c^{2}, \\ p_{e} - \frac{E_{f}}{c} & = m c . \end{matrix}

(A második képletben kifejeztük a foton lendületét az energiájával, és a negatív előjellel azt vettük figyelembe, hogy mozgásiránya a bejövő fotonéval ellentétes.) A második egyenlet

c

-szeresét az elsőhöz hozzáadva

E_{f}

kiküszöbölhető:

\begin{matrix} c p_{e} + E_{e} = 3 m c^{2} . \end{matrix}

Ha a meglökött elektron sebessége

v

, energiája és lendülete a relativisztikus képletek szerint

\begin{matrix} E_{e} = \frac{m c^{2}}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, p_{e} = \frac{m v}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} . \end{matrix}

Ezeket az összefüggéseket a fentebbi egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} \frac{m v c}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} + \frac{m c^{2}}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = 3 m c^{2} \end{matrix}

adódik, melyből algebrai átalakításokkal kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{v + c}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} & = 3 c, \\ \sqrt[]{\frac{c + v}{c - v}} & = 3, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{c + v}{c - v} = 9, \end{matrix}

vagyis a meglökött elektron legnagyobb sebessége

\begin{matrix} v = \frac{4}{5} c = 2, 4 \cdot 10^{8} \frac{m}{s} . \end{matrix}